Nullstellen von differenzierbaren Funktionen

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie:
(a) Ist f: R → R eine n-mal differenzierbare Funktion und hat f⁽ⁿ⁾ höchstens k verschiedene
Nullstellen, so hat f höchstens k + n verschiedene Nullstellen.
(b) Die Gleichung 2^x = 1 + x² hat genau drei Lösungen.

Problem/Ansatz:

Ich bin mir nicht sicher, wie ich die a lösen soll und bei der b beweisen soll, dass es genau drei Lösungen gibt (die 0 als Lösung ist ja zum Beispiel offensichtlich)…

Comments

Tipp zu (b): Definiere f(x) := 2^x - x² - 1. Zeige, dass f'''(x) keine Nullstellen hat und wende (a) an.
Außerdem gilt f(0) = 0, f(1) = 0, f(4) = -1 und f(5) = 6. Wende den Zwischenwertsatz an.

Answer 1

a) Bei einer differenzierbaren Funktion liegt zwischen 2 Nullstellen

immer eine Extremstelle und die Zahl der Extremstellen ist immer

kleiner oder gleich der Zahl der Nullstellen ihrer Ableitung.

Der Rest ist vollst. Induktion.