Zeige, dass es keine differenzierbaren Funktionen gibt mit f(0)=0=g(0) und f(x)g(x)=x für alle x in IR

Question

Zeigen Sie, dass es keine differenzierbaren Funktionen mit folgenden Eigenschaften gibt

f,g:R->R gibt mit f(0)=0=g(0) und f(x)g(x)=x       für alle x element der reellen zahlen

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen, dass es keine diffbaren Funktionen mit f(0)=g(0)=0 und f(x)*g(x)=x gibt. Wie beweisen?

Stichworte: differenzierbar,null,produkt,beweis,funktion

Aufgabe:

Zeigen Sie, dass es keine diffbaren Funktionen mit f(0)=g(0)=0 und f(x)*g(x)=x gibt

Problem/Ansatz:

Wie beweisen?

Answer 1

Wenn es das gäbe, dann hätte das Produkt die Ableitung 1.

Aber f(x)*g(x) abgeleitet gibt

f'(x)*g(x) + f(x)*g'(x) und das hätte an der Stelle 0 den Wert 0

und nicht den Wert 1.

Comments

Wenn es das gäbe, dann hätte das Produkt an jeder Stelle die Ableitung 1.

Schöner Beweis. Zum meinem Verständnis mal den ersten Satz ergänzt.

Answer 2

Nehme an, es gäbe Funktionen mit diesen Eigenschaften.

Definiere h(x) := f(x)g(x). Differenzieren ergibt nach der Produktregel

h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).

Setze  x=0. Dann gilt

h'(0) = f'(0)g(0) + f(0)g'(0) = f'(0)·0 + 0·g'(0) = 0 + 0 = 0.

Andererseits gilt  f'(x) = 1 für alle x. Insbesondere ist  f'(0) = 1.

Das ergibt den Widerspruch 0 = 1.

Comments

Korrektur:

Andererseits gilt  h'(x) = 1  für alle  x. Insbesondere ist  h'(0) = 1.

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und wieso ist h'(x)=1?

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Weil h(x) = f(x)g(x) = x  nach Voraussetzung.

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Bin schon drauf gekommen, sorry und danke.

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Ich verstehe das trotzdem nicht du setzt x = 0, dann ist doch h(0) = x = 0 oder sehe ich den Baum vor lauter Wald nicht?

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Aber die Ableitung von x ist 1 und es ist nicht wichtig was du für x einsetzen willst. Zumindest so habe ich das verstanden.