Funktion f(x) = 1/2 (x^3 - 6x^2 + 9x) - Extremstellen, Nullstellen, Fläche berechnen etc.

Question

Gegeben ist die Funktion \( f(x)=\frac{1}{2}\left(x^{3}-6 x^{2}+9 x\right) \).

Ermitteln Sie die Nullstellen, Extremstellen und Wendestellen sowie die Wendetangenten der Funktion und stellen Sie die Funktion grafisch dar.

Die Funktion \( f(x) \) wird von der Funktion \( g(x)=0,5 x \) geschnitten. Bestimmen Sie den Flächeninhalt, der von den beiden Funktionen begrenzt ist.

Answer 1

Womit genau hast du Probleme?

Hier mal die Nullstellen:

f(x) = 1/2 (x³ - 6x² + 9x)  = 0       |*2, x ausklammern.

x(x^2 - 6x + 9)=0         | Binom erkennen

x(x-3)^2 = 0

x1 = 0 ist einfache Nullstelle

x2 = 3 ist doppelte Nullstelle und daher auch Extrempunkt. 

Da der Koeffizient 1/2 von x^3 grösser als 0 ist, weiss man, dass P(3|0) ein relatives Minimum ist.

Hier mal noch die Skizze deiner Funktion und ein paar weitere Eigenschaften von ihr: https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2+%28x%5E3+-+6x%5E2+%2B+9x%29+

und

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2F2+%28x%5E3+-+6x%5E2+%2B+9x%29+%2C+0.5x

sowie

https://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+%28+1%2F2+%28x%5E3+-+6x%5E2+%2B+9x%29+-+0.5x+%29

Rechne das mal so weit nach, wie du jetzt kommst, dann kontrollieren wir das mal und sehen, wo eventuell noch ein Problem besteht.

Comments

passt, mach ich gleich morgen früh. ganz schlau werd ich aktuell gerade nicht darauß aber ich versuchs hinzubekommen.

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x(x-3)² = 0

x1 = 0 ist einfache Nullstelle

x2 = 3 ist doppelte Nullstelle und daher auch Extrempunkt. 


diesen schritt verstehe ich nicht ganz

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Zusammenhang von Faktorisierung und Nullstelle vgl. Bsp. und Erklärung danach hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Faktorisierung_von_Polynomen