Schau mal unter ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )
Übrigens; Matematik ist gar nicht so dröge und unspannend, wie du meinst.
Ich habe nämlich die größte Fälschung in der Geschichte der Matematik aufgedeckt.
Ursprünglich baggerte mich User " Ascon " an, ich sei ein " Troll, weil ich nicht sage, der SRN gehe auf Gauß " zurück.
Zwar steht das überall. Unter anderem auch in Wiki.
Nur mit dem Unterschied, dass kein Studienrat das kennt ....
Und ich dachte immer, Gauß ist Kult.
Ein User hat mich inzwischen schon auf 1950 herunter gehandelt mit dem ausdrücklichen Zugeständnis, er selber habe das mit dem Gauß nie behauptet.
Warum ich dieese Debatte hier nochmal los trete?
Weil seit 1950 bis zu mir ( 2011 ) alle Kopisten den SRN falsch zitieren. Der Satz hat doch überhaupt nur Sinn für primitive Polynome ( Warum !!! ??? ) Und alle einschließlich Wiki bringen Beispiele mit gebrochenen ( !!! ) Koeffizienten.
Ich sehe mich gezwungen, das zu berichtigen.
Ein Polynom, dessen primitive mit der Normalform übereinstimmt, möge normiert heißen
( Oder was das selbe ist: Wenn in Normalform alle Koeffizienten ganzzahlig sind; dein Beispiel ist normiert. )
Der SRN macht nun die Aussage, dass normierte Polynome wenn überhaupt rationale, so nur ganzzahlige Wurzeln haben können.
x ² - p x + q = 0 ( 1 )
p = 6 ; q = 5 ( 2 )
Vieta das geschmähte Stiefkind
q = x1 x2 = 5 ( 3 )
Tjaa; bei der Primzahl 5 bleiben da wohl nicht mehr viele Möglichkeiten. Doch wir haben noch die Zweideutigkeit des Vorzeichens, weil ja " Minus Mal Minus " auch Plus ergibt.
Für solche Fälle gibt es die cartesische Vorzeichenregel
" Zwei Mal Plus "
0 < x1 < = x2 ( 4 )
x1 = 1 ; x2 = 5 ( 5 )
Ist das jetzt schon ein Beweis? Nein; denn woher wissen wir, dass die Lösungen tatsächlich rational sind? Hinreichende Probe - überlebenswichtig in jeder Klausur - ist immer Vieta p ( Immerhin haben wir ja p bisher überhaupt noch nicht berücksichtigt. )
p = x1 + x2 ; ok ( 6 )
