Quadratische Funktionen Parabeln Nullstellen berechnen

Question

Hallooo, ich brauche echt hilfe.

Kann mir wer folgende 2 aufgaben ausfuehrlich vorrechnen? Ich haeng da schon ewig fest. Bitte bei Fragen nicht wegrennen ich brauch echt hilfe und gebe mir sehr muehe!!!

1.) - 1/2 x^2 + 2x - 3

(Ich weiß dass da keine nullstelle rauskommt, aber wie rechnet man das solange bis man zu dem punkt kommt, wo man das sicher sagen kann???????

2.) -2x^2 + 12x - 18

Bitte bitte ich wuerde mich ueber tolle antworten echt SEHR freuen!

Answer 1

(Alternativ, habe das jetzt nicht aus irgendeinem Heft entnommen)

Die Extremstelle einer Quadratischen Funktion liegt bei \(x_E=-\frac{b}{2a}\). Dadurch kann man ganz gut ablesen, ob es Nullstellen gibt oder eben nicht.

Beispiel: 

Nehmen wir die Funktion \(-\frac{1}{2}x^2+2x-3=0\), welche die Fom \(ax^2+bx+c=0\) hat. Setzen wir nun in die Formel ein:$$x_E=-\frac{2}{2\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)}=2$$ Setzen wir das nun in die Funktion erhalten wir \(f(2)=-1\). Das heißt unser Scheitelpunkt liegt bei \(S(2|-1)\).

Allgemein könnte man sagen, dass eine Quadratische Funktion mit einem negativen Vorfaktor \(a\) keine Nullstellen besitzt, wenn die \(y\)-Koordiante des Scheitelpunkts \(y>0\) ist. Im fall \(y=0\) exisitert nur eine Nullstelle, die dann auch den Scheitelpunkt darstellt.

Bei Quadratischen Funktionen mit positiven Vorfaktor \(a\) ist genau andersherum - dann exisitieren zwei Nullstellen, wenn \(y>0\) und nur eine wenn gilt \(y=0\)  - ergo keine wenn \(y<0\)

Comments

Daraus kann man übrigens durch Formelumstellungen folgendes erreichen, ich nenne es mal "Nullstellentest":$$x_{1,2}=-\frac{b^2}{4a}+c$$ Es gilt für jedes \(a\):

Wenn \(x>0\) , dann gibt es keine Nullstellen

Wenn \(x=0\) , dann gibt es eine berührende Nullstelle.

Wenn \(x<0\) , dann gibt es zwei Nullstellen

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Hallo rc. Gute Antwort und interessanter (richtiger) Test im Kommentar.

Hinweis: Im Kommentar ist r = -b^2/4a + c nicht schon selbst eine Nullstelle und auch nicht eine Extremalstelle, d.h. nicht aur der x-Achse abzulesen. Darum irgendetwas anderes verwenden, damit es kein Durcheinander gibt.

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Jo, okay. Dann nehme ich \(\chi=-\frac{b^2}{4a}+c\)

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Schön.

Und schönes Wochenende !

Answer 2

(Ich weiss, dass da keine Nullstelle rauskommt, aber wie rechnet man das solange bis man zu dem Punkt kommt, wo man das sicher sagen kann???????

Schau mal hier, wann und warum eine quadratische Funktion keine Nullstellen haben kann.
Hier werden unterschiedliche Fälle besprochen:
https://www.mathelounge.de/155320/wie-viel-nullstellen-haben-die-parabeln-mit-den-gleichungen

D.h. dann unter anderem, dass du zur Scheitelpunktform umformen kannst um abzulesen, wie viele Nullstellen es gibt. Aber lies die Antwort im Link erst mal genau.

Andere Möglichkeit, wenn (später) du die Formeln abc- oder pq-Formel gelernt hast. Kontrolliere das Vorzeichen der Diskriminante d = b^2 - 4ac . Wenn d negativ ist, gibt es keine Lösung.

Answer 3

(- 1/2) x^2 + 2x - 3 =0 |*(-2)

x^2 -4x +6=0 ->pq-Formel

x_1.2= 2±√( 4-6)

x_1.2= 2±√ -2

->keine Nullstellen im reellen Bereich , nur komplexe Nullstellen

x_1.2= 2± i √2 ->ist wohl nicht gefragt

Answer 4

zu 2):

$$\begin{aligned} y &= -2x^2 + 12x - 18 \\   &= -2\cdot\left(x^2 - 6x + 9\right) \\   &= -2\cdot\left(x-3\right)^2 \\ \end{aligned}$$Die einzige Nullstelle ist \(x=3\).

(Ich habe zunächst \(-2\) ausgeklammert (herausgehoben) und anschließend den geklammerten Term nach der zweiten binomischen Formel als Quadrat eines Binoms notiert. Die Nullstelle kann dann abgelesen werden.)

Comments

zu 1):

$$\begin{aligned} y &= -\dfrac 12x^2 + 2x - 3 \\[10pt]   &= -\dfrac 12\cdot\left(x^2 - 4x + 6\right) \\[10pt]   &= -\dfrac 12\cdot\left(x^2 - 4x +2^2 - 4 + 6\right) \\[10pt]   &= -\dfrac 12\cdot\left(\left(x-2\right)^2 + 2\right) \\[10pt]   &= -\dfrac 12\cdot\left(x-2\right)^2 - 1 \\[10pt] \end{aligned} \\\,\\ S(2\vert -1)$$

Ich habe den Funktionsterm der quadratischen Funktion mithilfe einer quadratischen Ergänzung von der Polynomform in die Scheitelform überführt, um daraus den Scheitel abzulesen.

Nun sieht man, dass die y-Koordinate des Scheitels \(y=-1\) das gleiche Vorzeichen (hier: Minus) aufweist wie der Leitkoeffizient (Streckfaktor) \(a=-1/2\) der Parabelgleichung. In genau diesen Fällen besitzt eine quadratische Funktion keine Nullstellen.

Ist die y-Koordinate des Scheitels null, dann gibt es immer genau eine Nullstelle, sind die Vorzeichen verschieden, dann gibt es immer genau zwei Nullstellen.

Damit sind alle möglichen Fälle erfasst. Die Anzahl der Nullstellen einer quadratischen Funktion lässt sich daher zuverlässig und ohne jede Mühe an der Scheitelform ablesen.