So wie du die Gerade notierst, verläuft sie ja durch den Ursprung. Ich sehe da nur einen Richtungsvektor. Gleichsetzen
5 x - 3 y - 11 z = ( - 11 ) ( 1 )
5 * 8 t + 3 * 5 t - 11 * 5 t = ( - 11 ) ( 2a )
5 ( 8 + 3 - 11 ) t = 0 = ( - 11 ) Widerspruch ( 2b )
Die Gerade verläuft parallel zu der Ebene. Rechnen wir es nach; ich betrachte quasi die Ebenengleichung
E = E ( x ; y ; z ) ( 3 )
als Niveauflächen, als ===> Äquipotenzialflächen einer Funktion im Raum. Was gibt E = E ( g ) ?
t ( 8 * 5 + 5 * 3 - 5 * 11 ) = 5 t ( 8 + 3 - 11 ) = 0 ( 4a )
Die Gerade verläuft also in einer parallelen Ebene
E ( x ; y ; z ) = 0 ( 4b )
Ich gehe jetzt ganz listig her und entwickle die Funktion E in eine ===> Taylorreihe; wir haben hier ja nur das lineare Glied.
E ( g ) = E ( P ) + < grad ( E ) | s > ( 5a )
Dabei bedeutet g einen Punkt auf der Geraden und P einen Punkt auf der " 11-er Ebene " . Diese Funktionswerte setzen wir ein:
0 = 11 + < grad ( E ) | s > ( 5b )
Da wir E ja nicht als einzelne Ebene auffassen, sondern als Funktion, die den ganzen Raum erfüllt, ist der Gradient wohl definiert; er ist der Vektor der Ableitungen von ( 1 ) , steht senkrecht auf ( 1 ) und bezeichnet die Richtung des steilsten Anstiegs - ganz wie bei den Höhenlinien einer Landkarte in Erdkäs.
grad ( E ) = [ (dE/dx ) | (dE/dy ) | ( dE/dz ) ] = ( 5 | - 3 | - 11 ) ( 5c )
Der Gradient enthält also genau wieder die Koeffizienten deiner Ebene . Der Vektor s des Abstandes ist natürlich genau senkrecht zu den Ebenen E orientiert, sprich: PARALLEL zu dem Gradienten. Wir müssen also nach Pythagoras die Länge des Gradientenvektors ermitteln:
| grad ( E ) | = sqr ( 5 ² + 3 ² + 11 ² ) = sqr ( 155 ) ( 6a )
und aus ( 5b )
11 = | grad ( E ) | | s | ===> | s | = 11 / sqr ( 155 ) ( 6b )
