Extrema, Sattelpunkte, Minima, Maxima

Question

Gegen sei die Funktion ƒ  : ℝ² → ℝ : (x,y) → -x³y + xy² + 3xy

Skizzieren Sie die Gebiete mit f(x,y) = 0, F(x,y) < 0 bzw. f(x,y) > 0

Geben Sie alle kritischen Stellen (x₀ , y₀ ) ∈ ℝ² der Funktion f an.

Davon sind a) Maxima, b) Minima, c) Sattelpunkte

Ich würde mich um Antworten mit Rechenwege freuen! :D

Answer 1

Schritt 1: lokale Extremstellen

\(Grad(f) = (f_x,f_y) \, =  \,  \left\{ -3 \; x^{2} \; y + y^{2} + 3 \; y, -x^{3} + 2 \; x \; y + 3 \; x \right\}\)

Löse das GLS

\( \left\{  \left\{ x = 0, y = 0 \right\} ,  \left\{ x = \sqrt{3}, y = 0 \right\} ,  \left\{ x = -\sqrt{3}, y = 0 \right\} ,  \left\{ x = 0, y = -3 \right\} ,  \left\{ x = \frac{\sqrt{15}}{5}, y = -\frac{6}{5} \right\} ,  \left\{ x = -\frac{\sqrt{15}}{5}, y = -\frac{6}{5} \right\}  \right\} \)

Schritt 2: Hesse Matrix bestimmen

\(H_f\left(x,y\right)=\left(\begin{matrix}f_{xx}\\f_{xy}\end{matrix}\begin{matrix}f_{yx}\\f_{yy}\end{matrix}\right) \)

Min: H positiv definit
Max: H negativ definit
Sattel: H indefinit

Comments

Ich komme nicht auf Lösung also LGS auflösen weil 2 Variablen

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Ja, was soll mir Dein Kommentar sagen?

2 Gleichungen 2 Variable was ist das Problem...