Nach Integration durch Substitution noch Partielle Integration

Question

Integrieren von:

\( \int \ln (\sqrt{\sin (x)}) \cdot \cos (x) d x \)

Ich habe anfangs substituiert (siehe meinen Rechenweg):

\( \int \ln (\sqrt{\sin (x)}) \cdot \cos (x) d x \)

\( u=\sin x \quad d x=\frac{d u}{\cos x} \quad u' = \cos x \)

\( \int \ln (\sqrt{u}) \cdot \frac{1}{ \cancel{\cos x}} d u \cdot \cancel{\cos x} = \int \ln (1 \sqrt{u}) d u \)
\( g^{\prime}(x)= \)
\( g(x)= \)

(Kleiner Fehler g(x) und f(x) sollte g(u) und f(u) sein)

Nun wollte ich das Integral ln(sqrt(u)) mit der Partiellen Integration lösen. Habe mal ein kleinen Blick in die Lösung geworfen.

Dieses Integral lässt sich mit partieller Integration lösen, indem man \( f^{\prime}(u)=1 \) und \( g(u)=\ln (\sqrt{u}) \) wählt
\( \int \ln (\sqrt{u}) d u=u \cdot \ln (\sqrt{u})-\int u \cdot \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u=u \cdot \ln (\sqrt{u})-\int \frac{1}{2} d u=u \cdot \ln (\sqrt{u})-\frac{1}{2} \cdot u+C \)

Aber ich verstehe diese nicht ganz genau. Wieso haben wir für f'(u) = 1 , aber diese tauch in der Rücksubstitution nie auf. Hatten wir also für: g'(x) = ln(sqrt(u))  g(x) = Integration von ln(sqrt(u)) , f(u) = u, f'(u) = 1

Wäre nett wenn mir jemand bei der Rücksubstitution weiter helfen könnte.

Answer 1

Die Wichtigsten Kerngedanken:

Du kannst den Logarithmus umschreiben zu, Wurzel ist ja hoch 1/2:

$$ ln({ u }^{ v })=v\ln(u) $$

$$ \int{\dfrac{\ln\left(x\right)}{2}} $$

\( =\frac{1}{2} \int \ln (x) \mathrm{d} x \)

Achtung wenn der ln() integriert wird!!!

der ln() wird mittels eines Tricks integriert:

Der Trick sieht so aus:

ln(x) = 1*ln(x)

mit dem Unterschied, das man beim letzten die partielle Integration anwenden kann :)

Dein Ansatz war aber schon sehr gut!

PS: Woher hast du diese interessanten Aufgaben? :)

Comments

Danke für ausführliche die Antwort! Hat mir weiter geholfen.

Die Aufgaben sind von einem Übungsblatt bzw. mehreren Übungsblättern, nur manchmal reichen die Lösungen von den Übungsblättern nicht aus. :)