Sei r ∈ Sn, und a, b ∈ ℤ. Sowie a ≡ b mod k. Zu Zeigen: r^a ≡ r^b mod k

Question

Hi!

Gegeben sei die Abbildung:

σ =  1 2 3 4 5 6   ∈ S₆       (Das ganze ist eine Abbildung)

       3 5 6 4 2 1

c) Sei r ∈ S_n, und a, b ∈ ℤ. Sowie a ≡ b mod k.  Zu Zeigen: r^a ≡ r^b  mod k

Also die ersten a) und b) habe ich schon gemacht. Erstmal paarweise disjunkte Zykel von σ  -  (1,3,6)(2,5)(4). Zweitens sign und ord von σ, also sign(σ) = -1 und ord(σ) = 6 .  C) habe ich aber nicht geschafft, über Ihre Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Und noch etwas - wie berechne ich σ²? oder σ⁵?  Normale Multiplikation von Permutationen habe ich schon gesehen, aber was passiert wenn σ mit sich selbs verknüpft?

Answer 1

Und noch etwas - wie berechne ich σ2? oder σ5?

Mit σ =  1 2 3 4 5 6   ∈ S6       (Das ganze ist eine Abbildung)
             3 5 6 4 2 1

hättest du z. B.  σ^2  = σ o σ  so zu berechnen:

Du bestimmst für alle x ∈ {1,..,6} jeweils das Bild

(σ o σ  )(1) = σ (  σ (1))  = σ ( 3) = 6

(σ o σ  )(2) = σ (  σ (2))  = σ ( 5) = 2

(σ o σ  )(3) = σ (  σ (3))  = σ ( 6) = 1

etc. und hast dann   σ^2  =  1 2 3 4 5 6  
                                             6 2 1 4 5 3

Und bei      σ^5  = σ o σ o σ o σ o σ      ist es dann

schon was aufwändiger, wenn du es nacheinander machst

σ^2   ,  σ^3  ,   σ^4    kannst du ja immer schon das alte

Ergebnis verwenden.

Bei   Zu Zeigen: r^a ≡ r^b  mod k ist mir was nicht ganz klar.

Was bedeutet es, dass zwei Permutationen kongruent mod k

sind. Heißt das: Für alle x ∈ { 1, … , n } gilt   r^a (x) ≡ r^b (x)   mod k

Comments

Kann ich  z.B σ⁵ so berechnen:  σ5 = σ² o σ² o σ¹ ?

Und ja, bei der c) gilt eigetlich was Sie geschrieben haben, nämlich für alle x ∈ { 1, … , n } gilt  r^a (x) ≡ r^b (x)  mod k

Wenn es mit mod n wäre , dann hätten wir r als ein k-Zykel und a ≡ b mod n. Zu zeigen r^a = r^b

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Kann ich  z.B σ5 so berechnen:  σ5 = σ2 o σ2 o σ1 ?

Na klar !

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Haben Sie eine Idee wie das mit dem mod k and mod n geht?