Dimension der linearen Hülle von Funktionen bestimmen

Question

Hallo ich verstehe nicht wie ich aus diesen Funktionen eine Matrix bilden kann.

(1)p1(x) = 1 − x^2 + x^3, p2(x)= x - x^2 + x^3, p3(x)= 2 - x - x^2 + x^3

(2)q1(x) = (1 +x)^3, q2(x) = (1−x)^3, q3(x) = 1 + x^2, q4(x)= 1 -  x^2

Bestimmen Sie die Dimensionen der linearen Hüllen 〈p1(x), p2(x), p3(x)〉 R⊂ Reellen Zahlen[x]  bzw. 〈q1(x), q2(x), q3(x), q4(x)〉R⊂ Rellen Zahlen[x].

Oder muss ich hier anders vorgehen ?

Answer 1

Oder muss ich hier anders vorgehen ?

(1)p1(x) = 1 − x^{2} + x^{3}, p2(x)= x - x^{2} + x^{3}, p3(x)= 2 - x - x^{2} + x^{3}

Wenn du testen willst, ob 3 Polynome linear unabhängig sind, machst du z.B. den Ansatz

a* p1(x) + b* p2(x) + c* p3(x)= 0  ,  Unbekannte a, b, c sind reelle Zahlen. 

Wenn du zwingend a = b = c = 0 herausbekommst, sind die drei Polynome linear unabhängig und die Dimension ihrer linearen Hülle ist  3.

Wenn du a, b oder c ≠ 0 sein dürfen, ist die gesuchte Dimension kleiner als 3.

Comments

soll ich daraus ein LGS schaffen oder wie genau mache ich das

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Genau. Das = 0 muss ja für alle reellen x gelten.

Daher kannst du vier Gleichungen herausziehen.

Eine für x^0 , ein für x^1 , eine für x^2 und eine für x^3 .

Die x^n kannst du dann weglassen und du hast ein LGS mit 4 Gleichungen und 3 Unbekannten.

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schreibe ich dann

1a+2c=0

xa-xb=0

-x^2a-x^2b-x^2c=0

x^3a+x^3b+x^3c=0

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Die x^{n} kannst du dann weglassen

...                        1a+2c=0

Bsp. xa-xb=0 ---> 1a - 1b = 0 .

usw.

nur noch Zahlen und a, b, c behalten ---> LGS .