Taylorreihe bilden bis zum Quadratischen Glied mit ln

Question

Hallo

Ich soll davon ( ln(1,001))^2 eine Taylorreihe bilden, ich weiß leider überhaupt nicht wie ich vor gehen soll, außer das ich 4 Ableitungen bilden muss.

Ich hab die Taylorformel da, weiß jedoch nicht was meine Xo und X sind?

Comments

Hmm. meinst du vielleicht \((\ln(1.001x))^2\)?

---

Nein, in der Aufgabe ist kein x

Answer 1

Ich würde folgendermaßen vorgehen.

Gesucht ist ein Taylorpolynom zweiten Grades (quadratische Funktion), die f(x)=ln²(x) annähern soll. Das soll im Entwicklungspunkt x₀=1 passieren, da ln²(1,001) gesucht ist. Dann hast du also ein Taylorpolynom der Form

$$ f(x)\approx T_{2,f}(x;1)=\sum_{k=0}^2 \frac{f^{(k)}(1)}{k!}\cdot(x-1)^k $$ als Näherungslösung und kannst damit ln²(1,001) näherungsweise bestimmen, sogar ohne Taschenrechner!

Comments

Danke für die Antwort, aber was ist x in der Gleichung?

Ich weiß, dass ln^2 (1) = 0 ist, doch bei 1,001 weiß ich nicht wie ich das ohne Taschenrechner lösen soll?

---

Bitte richtig lesen, was ich geschrieben habe.

Du sollst auch nicht ln^2(1,001) ohne Taschenrechner ausrechnen, sondern mit dem TAYLORPOLYNOM näherungsweise berechnen. Und das geht auch OHNE Taschenrechner.

---

Vielen Dank, jedoch weiß ich nicht was ich bei x einsetzten soll, da mein Professor immer dort etwas einsetzt?

---

Er hat euch ln²(1,001) gegeben, d.h er hat die Zahl 1,001 für x eingesetzt. Normal sieht das so aus: f(x)=ln²(x). Nun hat euer Professor die Zahl 1,001 für x eingesetzt. Dann sieht das so aus: f(1,001)=ln²(1,001).

Hast du es jetzt verstanden?

Answer 2

das ist eine konstante Funktion, die Funktion selbst ist bereits ihr Taylorpolynom 4ten Grades.

 Grund: es ist f'(x)=0 und somit verschwinden auch alle höheren Ableitungen