komplexe Linearfaktorzerlegung und die reelle Zerlegung

Question

Bestimme die komplexe Linearfaktorzerlegung und die reelle Zerlegung von:

$$ z^4 + 4z^3 + 2z^2 - 4z - 3 $$

Ich bräuchte jemanden der mir beim Lösen hilft.

Als ersten Schritt habe ich die Nullstelle "1" geraten und eine polynomdivision durchgeführt. Aber irgendwie kann ich mit dem Ergebnis nichts anfangen:

Answer 1

ein nützlicher Link:

https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

(z^4  + 4z^3  + 2z^2  - 4z  - 3) : (z - 1)  =  z^3 + 5z^2 + 7z + 3  

z^4  -  z^3                 
—————————————
        5z^3  + 2z^2  - 4z  - 3
        5z^3  - 5z^2         
        ——————————
                7z^2  - 4z  - 3
                7z^2  - 7z   
                ————————
                        3z  - 3
                        3z  - 3
                        ———————
                              0

Comments

okay super, da hatte ich wohl einen rechenfehler.

Wie fahre ich mit dem Ergebnis nun fort? mir fällt es sehr schwer die Nullstellen abzulesen

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Du schaust Dir das absolute Glied an , hier ist es die 3.

3 kann nur durch ± 3 und ± 1 teilen.

Das mußt Du nun ausprobieren und findest relativ schnell die Lösung.

Raten durch -1:

(z^3  + 5z^2  + 7z  + 3) : (z + 1)  =  z^2 + 4z + 3 
z^3  +  z^2         
————————————
        4z^2  + 7z  + 3
        4z^2  + 4z   
        ——————————
                3z  + 3
                3z  + 3
                ———————
                      0
----------------------------------------------------------

-------->z^2 + 4z + 3

z= -1

z= -3

----------->

------>

z=(z - 1) (z + 1)^2 (z + 3) = 0

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Polynomdivision bestätigt mit unserem Rechner: https://www.matheretter.de/rechner/polynomdivision/?div1=x^4+4x^3+2x^2-4x-3&div2=x-1

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Oh, zwei polynomdivisionen in einer aufgabe, danke dir!!

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Es geht auch mit dem Horner Schema, falls das behandelt wurde.

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Habe nun alles nachgerechnet und kann prima folgen. nun beim aufschreiben der nullstellen habe ich nun einmal -1 und -3, also z+1 und z+3

die z-1 hast du einfach als nullstelle aufgeschrieben, da wir mit ihr unser ergebnis der ersten polynomdivision erhalten haben  oder?

und woher kommt die zweite z+1,

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die z-1 hast du einfach als nullstelle aufgeschrieben, da wir mit ihr unser ergebnis der ersten polynomdivision erhalten haben  oder?

->JA

und woher kommt die zweite z+1

z^2 + 4z + 3

z= -1

z= -3

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perfekt danke dir für alles!

Answer 2

Die reelle Faktorenzerlegung ist (z-1)(z+3)(z+1)².