Gleichung bzegl. des Inkreisradius eine rechtwinkligen Dreiecks

Question

Hi!

Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck und r der Inkreisradius. a,b,c seien die Seitenlängen des Dreiecks (c natürlich die Hypotenuse).

Gilt, und ggF. wieso gilt:

   2 r   +    c = a + b

  :)

Answer 1

Ja, das gilt.

Ist Dir die Inkreisformel bekannt?

$$r = \frac{ab}{a+b+c}$$

Du kannst \(r\) durch \(r = \frac{a+b-c}{2}\) ersetzen:

$$\frac{a+b-c}{2} = \frac{ab}{a+b+c}\quad|\cdot2\ \cdot(a+b+c)$$

$$(a+b-c)(a+b+c) = 2ab\quad|\text{links den dritten Binomi erkennen}$$

$$(a+b)^2-c^2 = 2ab\quad|-2ab+c^2$$

$$a^2+2ab+b^2-2ab = c^2$$

$$a^2+b^2 = c^2$$


Und das ist gerade der Satz des Pythagoras. Also ein rechtwinkliges Dreieck.


Grüße

Comments

Zeile 4 verstehe ich nicht, aber danke schonmal :)

---

Der dritte Binomi sollte bekannt sein?

(d-c)(d+c) = d^2-c^2, wobei bei uns d = a+b ;)

---

Achso, weil ABC rechtwinklig ist, zeigt die Umformung auf den Pythagoras die Gleichheit der beiden Terme?

---

Du hast den Inkreis eines Rechtecks, welcher als Bekannt vorausgesetzt wird. Man setzt nun Deine Beziehung ein, von der man weiterhin ein rechtwinkliges Dreieck vermutet. Das Ergebnis deutet klar auf die Existenz eines rechwinkligen Dreiecks hin -> Die Sache passt ;).

---

Aber man soll zeigen, dass dies für alle rechwinkligen Dreiecke gilt, nicht die Existenz.

---

Vllt etwas falsch ausgedrückt, aber Satz des Pythagoras gilt allgm. für alle rechtwinklige Dreiecke. Da der Satz des Pythagoras das Ergebnis Deiner/meiner Umformungen ist, ist die Schlussfolgerung, dass Deine Bedingung für alle rechtwinkligen Dreiecke gilt, also genau was Du wissen wolltest ;).