Sei M der Mittelpunkt des Inkreises.
Die drei Teildreiecke ABM, BCM und CAM haben die Flächeninhalte
0,5*c*r,
0,5*a*r
und 0,5*b*r.
Die Gesamtfläche des Dreiecks ABC ist 0,5*a*b, somit gilt
0,5*c*r+0,5*a*r +0,5*b*r = 0,5*a*b.
Daraus wird r(a+b+c)=ab, also r=ab/(a+b+c).
Zweite Variante zur Berechnung von r:
Von M aus werden die Lote auf die drei Seiten eingezeichnet. D sei der Fußpunkt des Lotes auf AB, E sei der Fußpunkt des Lotes auf BC, und F sei der Fußpunkt des Lotes auf AC.
Das Viereck MECF ist dann ein Quadrat mit der Seitenlänge r.
Für AF gilt dann AF= b-r, für BE entsprechend BE=a-r.
Da die Geraden AB und AC Tangenten am Inkreis sind, sind die beiden Tangentenabschnitte AF und AD gleich lang (mit der Länge b-r)
Auf den Inkreistangenten BA und BC sind entsprechend die Abschnitte BD und BE gleich lang (mit der Länge a-r).
Da sich die Seite AB aus den Abschnitten AD und DB zusammensetzt, gilt c=(b-r)+(a-r). Umgestellt nach r ergibt das r=(a+b-c)/2.
So entstehen die beiden bereits in der Aufgabenstellung genannten Terme für r.
Setze diese nun gleich und multipliziere anschließend mit beiden Nennern:
(ab)/(a+b+c) =(a+b-c)/2 |*2*(a+b+c)
2ab = (a+b-c)(a+b+c).
Durch geeignete Klammersetzung erkennt man rechts die Anwendbarkeit der dritten binomischen Formel:
2ab =([a+b]-c)([a+b]+c).
Wende an und vereinfache.
