Man beweise, dass der Umkreisradius eines beliebigen Dreiecks niemals kleiner als der doppelte Inkreisradius ist.

Question

Mein Problem ist dass ich beweisen muss, dass R(Umkreis)>= 2*R(Inkreis) gilt.

Ich konnte schon vereinfachen bis zu:

3*a*b*c  + a³+b³+c³ >=  c²*(a+b)+b²*(a+c)+a²*(b+c)

und danach bis

3*a*b >= c*(a+b+c)

nun komme ich nicht weiter

Answer 1

$$ r_i=\frac{2A}{a+b+c}$$
$$R_u=\frac{abc}{4A}$$
$$R_u \ge 2 r_i$$
$$\frac{abc}{4A} \ge 2 \frac{2A}{a+b+c}$$
$$abc \ge  \frac{16A^2}{a+b+c}$$
$$(abc) \cdot (a+b+c) \ge  {16A^2}$$
Heronische Formel zur Flächenberechnung im Dreieck:
$$     A=\frac 14 \sqrt{2a^2b^2+2a2c^2+2b^2c^2−a^4−b^4−c^4}$$
Einsetzen in die Fläche A:
$$(abc) \cdot (a+b+c) \ge  {16\cdot\left(\frac 14 \sqrt{2a^2b^2+2a2c^2+2b^2c^2−a^4−b^4−c^4}\right)^2}$$
Rest ist Fleissarbeit