Zeige, dass die Geraden gleich sind (Analytische Geometrie)

Question

Lerne gerade für die Klausur und bei diesem Uafgabentyp verunsichert.

Zeige, dass die Gearden gleich sind:

g: x→ = (1/0/5) + r (4 /-2/6) g2: x→ = (3/-1/8) + s(-2/1/-3)

Welche Beziehung gillt für r und s für gleiche Punkte?

Ich hätte jetzt die beiden Geraden wohl gleichgesetzt, aber dann habe ich gesehen dass der RV von g1 das Vielfache von dem RV aus g2 ist. Also sind die ja kollinear, bzw. linear abhängig. Ist das schon die Antwort?

Oder was ist mit gleich gemeint?

Answer 1

wenn die Richtungsvektoren linear abhängig sind, sind die Geraden parallel und können identisch sein. Das findest du mit der Punktprobe heraus. Du setzt zum Beispiel den Stützvektor der ersten Gleichung = der zweiten Gleichung. Ergibt sich für s in den drei Fällen die gleiche Zahl (hier s = 1), sind die Geraden identisch.

Gruß

Silvia

Comments

Damit wäre die Frage

Welche Beziehung gilt für r und s für gleiche Punkte?

allerdings noch nicht beantwortet. Daher kann man gleich die Beziehung herleiten, denn damit ist automatisch auch gezeigt, dass die Geraden identisch sind.

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Habe gerade gesehen, was wäre, wenn sie nicht Kollinear wären? Wäre die Antwort dann einfach : Keine Kollinearität, also linear unabhängig daher nicht gleich?

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Ja, nicht gleich oder parallel, sondern windschief oder die Geraden schneiden sich in einem Punkt.

Answer 2

[1, 0, 5] + r·[4, -2, 6] = [3, -1, 8] + s·[-2, 1, -3]

Löse das Gleichungssystem und erhalte: 2·r + s = 1

Das ist jetzt die gesuchte Beziehung für gleiche Punkte.

Comments

Verstehe. s=1 habe ich ja sowieso in der Teilaufgabe vorher auch schon rausgehabt, allerdings war dies ja nicht klassisches LGS lösen.

War das Zufall, das da jetzt auch s = 1 kommt oder kann ich mir den Rechenschritt hier dann sparen und immer den Parameterwert vorher übernehmen?

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2·r + s = 1

Die Gleichung ist auch erfüllt für s = 3 und r = -1

Damit kannst du nicht einfach s übernehmen.

Es kommt auf den Zusammenhang von r und s an und nicht um eine Lösung von s.

s kann jeder beliebige Wert aus R sein.