L'Hospital lim x -> 0 1/x * arctan(x/2)

Question

ich habe lim x -> 0 1/x * arctan(x/2)

Ich habe also unendlich * 0

Ich wende somit L'Hospital an.

Aber hier vermute ich meinen Fehler.

lim x ->0 1/x * arctan(x/2) = lim x ->0 arctan(x/2) * x =

lim x ->0  2/x^2 / 1 = lim x ->0 2 / x^2 + 4 = 0

 Die richtige Antwort ist: 1/2

Was habe ich falsch gemacht? Wäre nett, wenn mir jemand bei der Lösungsuche helfen könnte. und einen schönen Abend noch.

Answer 1

Hi Max,

bei einem Ausdruck der Form "∞*0" kannst Du nicht einfach l'Hospital anwenden.

Schreibes um. Hier als Quotient:

$$\lim \frac{\arctan\left(\frac x2\right)}{x} = \;{l'H}\; = \frac{\frac{1}{2\left(\frac{x^2}{4}+1\right)}}{1}$$

Bei letzterem kannst Du nun die Klammer mit 4 erweitern und hast in der Klammer (x²+4)/4

Das kannst Du dann mit der 2 vorne kürzen und insgesamt ergibt sich (nach Auflösung des Doppelbruchs):

$$=\lim \frac{2}{x^2+4} = \frac24 = \frac12$$

Alles klar? Wie man den arctan ableitet muss man halt wissen, oder schlägt in der Formelsammlung nach ;).

Grüße

Comments

Super, dankeschön! Schönen Abend noch.

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Gerne und gleichfalls :).

Answer 2

Ich habe also unendlich * 0 .Ich wende somit L'Hospital an.

->Das ist falsch

L' Hospital funktioniert bei 0/0 oder ∞ /∞

Schreibe das anders.

= lim (x-->0)  (arctan(x(2)) /x ->dann hast Du 0/0 und kannst L'Hosptal anwenden.

= lim (x-->0) ( 2/(x^2+4) ) /1) = 1/2.