Nichttriviale Lösungen der Gleichungen

Question

Finden Sie alle reellen nichttrivialen Lösungen der Gleichungen

2x₁−3x₂−x₃+x₄= 0,
3x₁+4x₂−4x₃−3x₄= 0,
17x₂−5x₃−9x₄= 0.
Zeigen Sie ferner, dass eine dieser Lösungen auch die Gleichungen
x₁+x₂+x₃+x₄+1= 0,
x₁−x₂−x₃−x₄−3= 0
löst, aber keine sich als lineare Kombination der Vektoren (0, 1, 2, 3) und (3, 2, 1, 0) darstellen
lässt.

Nach dem anwenden von Gauß hab ich dieses Ergebnis:

x₁= 16/17 *x₃
x₂= 5/17*x₃
x₃= x₃
x₄= 0

Wie mache ich weiter? Bzw. war mein Ansatz mit Gauß überhaupt richtig?

Answer 1

Wie mache ich weiter? Bzw. war mein Ansatz mit Gauß überhaupt richtig?

Nicht ganz.  Es muss nicht unbedingt x4=0 sein, sondern x4 ist auch frei wählbar,

also

x1= 16/17 x3 + 5/17 x4

x2= 5/17 x3 + 9/17 x4

x3 = x3

x4=x4

Zeigen Sie ferner, dass eine dieser Lösungen auch die Gleichungen
x1+x2+x3+x4+1= 0,
x1−x2−x3−x4−3= 0
löst. Das ist

1
-1
2
-3