Nichttriviale Lösungen für Lambda

Question

ich wollte fragen, ob jemand weiß, wie man die Lösung zu folgender Aufgabe erhält?

Aufgabe:

Für welche Werte von λ existieren nichttriviale Lösungen des Gleichungssystems? 
Bestimmen Sie diese Lösungen.

λx + y + 4z = 0

3x + 2y + 5z = 0

5x + (λ + 1)y + (4λ + 1)z = 0

Comments

Ich fürchte, es gibt nur die triviale Lösung.

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Ich fürchte

Warum fürchtest du dich ? - Ich bin doch bei dir.

Solltest du dich vor einer leeren Lösungsmenge fürchten - ich kann dich beruhigen, sie enthält z.B. das Element 2.

Answer 1

DET([k, 1, 4; 3, 2, 5; 5, k + 1, 4·k + 1]) = 0 --> k = 2 ∨ k = -1

Für Lambda = 2 oder Lamda = -1 sollte es nicht triviale Lösungen geben.

Schaffst du diese Lösungen auszurechnen?

für k = 2 --> x = - 3·z ∧ y = 2·z

für k = -1 --> x = 0.6·z ∧ y = - 3.4·z

Comments

Wie kommst du auf die Determinante?

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Regel von Sarrus

https://de.wikipedia.org/wiki/Regel_von_Sarrus

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Die Regel versteh ich. Aber nicht, wie du dann auf

DET([k, 1, 4; 3, 2, 5; 5, k + 1, 4·k + 1])

kommst....

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DET([k, 1, 4; 3, 2, 5; 5, k + 1, 4·k + 1])

= k·2·(4·k + 1) + 1·5·5 + 4·3·(k + 1) - 5·2·4 - (k + 1)·5·k - (4·k + 1)·3·1

= (8·k^2 + 2·k) + (25) + (12·k + 12) - (40) - (5·k^2 + 5·k) - (12·k + 3)

= 3·k^2 - 3·k - 6

= 3·(k^2 - k - 2)

= 3·(k + 1)·(k - 2)

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Immer noch unklar. Ich versteh nicht, wie du auf die Werte kommst

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Das sind die Werte der Koeffizienten im Gleichungssystem

λx + 1y + 4z = 0
3x + 2y + 5z = 0
5x + (λ + 1)y + (4λ + 1)z = 0

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Achso ok..... Ich merk grad, dass ich saudumm bin, und ausversehen das falsche Gleichungssystem hingeschreiben habe..... ups.....

Kannst du es mir eventuell für folgendes rechnen?:

λx1 + 3x2 + x3 = 0

(λ + 1)x1 − x3 = 0

(2λ − 1)x1 + 2x2 + 4x3 = 0

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Das solltest du jetzt doch selber rechnen können oder

DET([k, 3, 1; k + 1, 0, -1; 2·k - 1, 2, 4]) = 0 --> k = -0.5

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Eigentlich schon, aber bei dieser Aufgabe war ich halt überfordert. Aber danke

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Das andere Gleichungssystem lässt sich doch exakt genauso rechnen wie das erste. Determinante bilden und Null setzen und nach k (Lambda) auflösen. Dann hat man schon die Werte für die es mehr als die Triviallösung geben kann.

Dann nur noch die Lösung angeben.

Letzteres müsstest du auch noch machen.