Sei X normalverteilt, \( F_X \) die Verteilungsfunktion und \(f_X\) die Dichte von X.
Dann erhalten wir doch für \( y > 0 \):
$$ F_Y(y) = P(Y \le y) = P(e^X \le y) = P(X \le \ln(y)) = F_X(\ln(y))$$
und da Y positiv ist folgt für \( y \le 0 \) eben \( F_Y(y) = 0 \). Insgesamt
$$ F_Y(y) = \begin{cases} 0 & y \le 0\\F_X(\ln(y))& y > 0 \end{cases} $$
Die Dichte bestimmt man jetzt durch ableiten, im Punkt 0 geht das nicht, aber da das eine Nullmenge ist kannst du ihr dort einfach einen beliebige Wert geben, etwa
$$ f_Y(y) = \begin{cases} 0 & y \le 0\\\frac{f_X(\ln(y))}{y}& y > 0 \end{cases} $$
