Z sei standardnormalverteilt. Wie groß muss k sein

Question

Aufgabe:

Z sei standardnormalverteilt. Wie groß muss k sein, damit

a) P(Z < k) = 0,80

b) P(Z ≥ k) = 0,40

c) P(-k ≤ Z < k) = 0,50

Problem/Ansatz:

Ich habe hier leider keine Idee, wie man dies berechnet. Wäre sehr dankbar wenn mir jemand hilft.

Schonmal vielen Dank im Voraus :-)

Answer 1

Aloha :)

Kurz vorab ein paar wichtige Fakten zur Standard-Normalverteilung:

Die Standard-Normalverteilung \(\Phi(z)\) gilt für normal-verteilte Zufallsvariablen \(Z\) mit dem Mittelwert \(0\) und der Standardabweichung \(1\). Der Wert \(\Phi(z)\) gibt die Wahrscheinlchkeit an, dass die Zufallsvariable \(Z\) Werte von \(-\infty\) bis \(z\) annimmt, das heißt:$$P(Z<z)=\Phi(z)$$Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(Z\) größer als \(z\) ist, entspricht dem Gegenereignis:$$P(Z>z)=1-\Phi(z)$$Die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsvariable \(Z\) zwischen \(z_1\) und \(z_2\) liegt, kannst du so ausrechnen:$$P(z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<z_1)=\Phi(z_2)-\Phi(z_1)$$Die Standard-Normalverteilung \(\Phi\) ist symmetrisch zur \(y\)-Achse. Daher ist die Fläche unter der Kurve im Intervall \(]-\infty;-z]\) genau so groß wie die Fläche unter der Kurve im Intervall \([z;\infty[\). Das heißt für die Wahrscheinlichkeiten \(P(Z<-z)=P(Z>z)\) oder wenn wir die ersten beiden Formeln verwenden$$\Phi(-z)=1-\Phi(z)$$Damit nun konkret zu deinen Aufgaben:

a) Hier brauchst du die erste Formel von oben:$$P(Z<k)=0,8\;\;\Leftrightarrow\;\;\Phi(k)=0,8\;\;\Leftrightarrow\;\;k=\Phi^{-1}(0,8)\approx0,8416$$b) Hier brauchst du zweite Formel von oben:$$P(Z\ge k)=0,4\;\;\Leftrightarrow\;\;1-\Phi(k)=0,4\;\;\Leftrightarrow\;\;\Phi(k)=0,6\;\;\Leftrightarrow\;\;k=\Phi^{-1}(0,6)\approx0,2533$$c) Und hier brauchst du die dritte und vierte Formel von oben:$$P(-k\le Z<k)=0,5\;\;\Leftrightarrow\;\;\Phi(k)-\Phi(-k)=0,5\;\;\Leftrightarrow\;\;\Phi(k)-\left[1-\Phi(k)\right]=0,5$$$$\Leftrightarrow\;\;2\Phi(k)-1=0,5\;\;\Leftrightarrow\;\;2\Phi(k)=1,5\;\;\Leftrightarrow\;\;\Phi(k)=0,75$$$$\Leftrightarrow\;\;k=\Phi^{-1}(0,75)\approx0,6745$$

Answer 2

a) 
Φ(z) = 0.8 → invNorm(0.8;1;0) berechnen oder in der Quantilstabelle das 0.8-Quantil nachschlagen oder in der Verteilungstabelle der SNV nachschauen, wann der Wert 0.8 erreicht werden.

b)
P(Z ≥ k) = 0.4 ⇔ P(Z < k) = 0.6 → gleiches Vorgehen wie bei a.

c)
-k: Φ(z) = 0.5 - 0.25 = 0.25 gesucht (siehe oben)
k: Φ(z) = 0.5 + 0.25 = 0.75 gesucht (siehe oben)
(Es kommt der gleiche abs. Wert heraus, nur das Vorzeichen unterscheidet sich, da der EW bei 0 liegt.)