Verständnisfrage zu Gruppenhomomorphismen

Question

Ich habe eine Verständnisfrage zu Gruppenhomomorphismen.

Und zwar:

Sei (G,+) eine Gruppe und (H,·) eine Gruppe.

Φ: G -> H, x ↦ e^x     

Mir ist klar, weshalb diese Abbildung einen Gruppenhomomorphismus darstellt.
Allerdings - soweit ich das verstanden habe - ist es bei einem Gruppenhomomorphismus egal ob bspw. G -> H oder H->G abbildet. 
Und genau das verstehe ich nicht!

Denn, wenn Φ: H -> G, x ↦ e^x

1. Φ(a*b) = Φ(a)+Φ(b)
Ok, scheint ein Homomorphismus zu sein. aber was ist mit den anderen Bedingungen?

2. Φ(e_H) ≠ e_G , denn: e¹  = 2,71 ≠ 0
3. Φ(a^-1)  ≠ Φ(a)^-1   

Also stellt die umgekehrte Abbildung von (G,+) und (H,·) doch keinen vollständigen Gruppenhomomorphismus da. Also   (H,·) (G,+)    Φ: H -> G, x ↦ e^x      
Ist kein vollständiger Gruppenhomomorphismus.

Vielen Dank für die Hilfe

Comments

Φ: G -> H, x ↦ e^x

Wie ist e^x definiert?

... egal ob bspw. G -> H oder H->G abbildet.

Was meinst du genau mit egal? Zum Beispiel bei dem Gruppenhomomorphismus

        φ: ℝ² →ℝ, (x,y) ↦ x.

e¹  = 2,71 ≠ 0

Woraus schließt du, dass e¹  = 2,71 ist? Selbst wenn e die eulersche Zahl ist, ist das Gleichheitszeichen unberechtigt. Aber du arbeitest ja gar nicht mit den reellen Zahlen, sondern lediglich mit zwei Gruppen (die nicht aus Teilmengen der reellen Zahlen bestehen müssen).

Im Zusammenhang mit Gruppen wird mit e oft das neutrale Element bezeichnet.

Ist kein vollständiger Gruppenhomomorphismus.

Ich kenne den Begriff vollständig in Zusammenhang mit Gruppenhomorphismen nicht. Wie ist der bei dir definiert?

Answer 1

  auch ich bin der Meinung, wir müssten hier erst mal klären, von was für Gruppen eigentlich die Rede ist.   So ist die e-Funktion beispielsweise auch für alle Matrizen definiert - ich verweise auf das fantastische Werk  " Darstellungsteorie "  von  ===>  Ernst Boerner so wie das  QM Lehrbuch von Eugen Fi ck  / Darmstadt. 

   Sooo einfach geht es aber dann doch nicht; für beliebige Matrizen ist  KEINES WEGS

    exp  (  A  +  B  )  ( ! )  =  exp  (  A  )  excxp  (  B  )       (  1  )

    Mit der Zauberformel  (  1  )  könntest du ja beweisen, dass zu mindest all die Matrizen miteinander vertauschen, die sich als Bild der e-Funktion darstellen lassen.

    Die ===>  Logaritmentafel

    (  Wusstest du überhaupt, dass es sowas gibt? Hand auf die hohle Heldenbrust; könntest du noch damit umgehen? )

   Die Logaritmentafel beruht genau darauf, dass exp  sogar ein  ISOmorphismus ist zwischen ( |R ; + )  und ( |R+  ;  *  )   Hier siehst du ganz deutlich, dass bei uendlichen Mengen eine echte Teilmenge gleich mächtig der Obermenge sein kann ( Isomorphismus ! )

   Stimmt doch alles; das neutrale Element von ( |R ; + ) ist  Null.  Und das neutrale Element von ( |R+  ;  *  )  ist   eins.  Und es gilt

       exp  (  0  )  =  1    (  2  )