Term umformen - Variation der Konstanten

Question

Ich habe heute viele Fragen zum Thema umformen...

Wie löst man den Term auf der linken Seite auf, sodass man für c'(t) = t*ln(t) erhält?

Gruß

 

Answer 1

$$x'(t)=\frac{c'(t)}{t}-\frac{c(t)}{t^2}=-\frac{1}{t}\cdot x(t)+\ln(t)\\x(t)=\int x'(t) dt=\int \frac{c'(t)}{t}-\frac{c(t)}{t^2} dt=\int\frac{c'(t)}{t}dt +\int-\frac{c(t)}{t^2}dt\\=\int\frac{1}{t}\cdot c'(t) dt + \int -\frac{1}{t^2}\cdot c(t)dt\\[20pt]=\frac{1}{t}\cdot c(t)-\int -\frac{1}{t^2}\cdot c(t)+\int -\frac{1}{t^2}\cdot c(t)dt\\=\frac{1}{t}\cdot c(t)+\int \frac{1}{t^2}\cdot c(t)-\int \frac{1}{t^2}\cdot c(t)dt=\frac{1}{t}\cdot c(t)=\frac{c(t)}{t}$$

Dann hat man:

$$ \frac{c'(t)}{t}-\frac{c(t)}{t^2}=-\frac{1}{t}\cdot \frac{c(t)}{t}+\ln(t)\\\frac{c'(t)}{t}-\frac{c(t)}{t^2}=-\frac{c(t)}{t^2}+\ln(t)\\\Leftrightarrow  \frac{c'(t)}{t}=\ln(t) \\\Leftrightarrow c'(t)=t\cdot \ln(t)$$

Answer 2

x' (t)= -x(t)/t +ln(t)

die Lösung der homogenen Gleichung x '(t) +1/t *x(t)=0 lautet:

x '(t) +1/t *x(t)=0

x '(t) = - x(t)/t

dx/dt=  (-x(t))/t

t dx = -x(t) *dt

dx/x= -dt/t

ln| x| = -ln|t| +C

x_h=C/t , C=C(t)

xp= C(t) /t

xp '=C '(t) /t - C(t) *1/t^2

Du setzt xp und xp ' in die Aufgabe ein:

C '(t) /t - C(t) *1/t^2 =  -1/t * C(t) /t +ln(t) ->der C(t) Term fällt heraus

C '(t) /t = ln(t)  | *t

C '(t)= t *ln(t)