Reihe auf Konvergenz überprüfen

Question

Die summe von k=1 bis indexende unendlich  ∑e*3^-k

Bestimme die Reihe auf konvergenz.

Bitte um hilfe weiss nicht wie ich das machen soll :S

Answer 1

Hallo elFero,

Insofern deine Summe \(\sum_{k=0}^{\infty}{e\cdot 3^{-k}}\) heißt, dann kannst du sie zu \(\sum_{k=0}^{\infty}{\frac{e}{3^k}}\) umschreiben. Wende nun das Quotienkriterium an, um die Konvergenz zu überprüfen:$$\left|\frac{a_k+1}{a_k}\right|=\frac{e}{3^{k+1}}\cdot \frac{3^k}{e}$$ Du musst nun den \(\lim\limits_{k\to\infty}\) berechenen und falls \(\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k+1}{a_k}\right|<1\), dann konvergiert die Reihe absolut. Ich erhalte nach Berechnung des Limes \(\frac{1}{3}\), was heißt, dass \(\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_k+1}{a_k}\right|<1\) und die Reihe somit absolut konvergiert.

Berechnung des Limes:$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{e}{3^{k+1}}\cdot \frac{3^k}{e}$$ Ein geschultes Auge sieht nun das \(e\) im Nenner sowohl als auch im Zähler steht, weswegen wir es wegkreuzen können:$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{3^k}{3^{k+1}}$$ Ich hoffe du siehst, was ich sehe!:$$\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{3}$$Der Grenzwert einer Konstanten ist die Konstante selbst.

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EDIT:

Grenzwertberechnung hinzugefügt.

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Danke für den Stern, kannst du alles nachvollziehen, wenn nicht bitte nachfragen. Hier übrigens noch ein hilfreiches Diagramm:

Answer 2

du kannst es auch mit dem Wurzelkriterium machen:

$$ \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|a_k|}= \limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|e\cdot 3^{-k}|}=\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{\Bigg|e\cdot \frac{1}{3^{k}}\Bigg|}\\=\limsup_{k \to \infty} \frac{\sqrt[k]{|e|}}{3}=\frac{1}{3}<1 $$

Und damit ist diese Reihe (absolut) konvergent.

Comments

Cool, gefällt mir.

Answer 3

Verwende das Quotientenkriterium.