Reihe auf Konvergenz überprüfen und Berechnung des Werts

Question

Aufgabe:

∑(n=0 bis unendlich) /\( \frac{1}{\sqrt{n+1}} \)

Ich weiß leider nicht, wie ich diese Reihe auf Konvergenz (inkl. der Berechnung) überprüfen kann.

Kann jemand evtl. helfen ?

Danke.

Comments

Die konvergiert nicht: hattet ihr schon die harmonische Reihe 1/n? Wenn ja, dann Minorantenkriterium. Und ansonsten erst zeigen, dass harmonische Reihe nicht konvergiert und dann Minorantenkriterium.

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Wie kann ich denn die Reihe umformen, so dass die harmonische Reihe entsteht ?

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Du sollst sie nicht umformen, kennst du das minorantenkriterium?

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Nein, leider nicht.

Answer 1

Hallo,

du kannst ein Vergleichskriterium anwenden. Es ist recht wahrscheinlich, dass das Majorantenkriterium behandelt wurde, was Hand in Hand mit dem Minorantenkriterium geht.

Es gilt $$\frac{1}{\sqrt{n+1}}\geq \frac{1}{n} \Leftrightarrow n\geq \sqrt{n+1}\quad \text{ für } n>1. $$Ob die Reihen nun bei \(n=2\) starten, ist unerheblich für das Konvergenzverhalten. Da die harmonische Reihe divergiert, und wir durch die Abschätzung oben jeden Summanden der harmonischen Reihe durch einen größeren tauschen müssen, um die ursprüngliche Reihe zu untersuchen, wissen wir auch, dass diese divergiert.

Alternativ kann man den Satz von Olivier verwenden, denn \(\left(\frac{n}{\sqrt{n+1}}\right)_n\) ist keine Nullfolge, d. h. die Reihe divergiert.