1 bis 3 Ableitung folgender e-Funktion mit a als Parameter, f(x)=e^{-x^2/a}

Question

ich versuche seit Stunden die Funktion :f(x)=e^{-x^2/a} abzuleiten.

Aufgabenstellung lautet Wie ist der Parameter a ( Element R), damit die Funktion an der Stelle Xw=1 eine Wendestelle hat ?

Mein Zwischenergebnis e^-(x^2/a)*(4x^2+2x+a)/a^2, als Zweite Ableitung.

a soll laut Lösung 2 sein.

Gruß

John

Answer 1

$$ f_a(x)=e^{\frac{-x^2}{a}}\\ f'_a(x)=-\frac{2x}{a}\cdot e^{\frac{-x^2}{a}}\\f''_a(x)=-\frac{2}{a}\cdot e^{\frac{-x^2}{a}}+\frac{4x^2}{a^2}\cdot e^{\frac{-x^2}{a}}=\frac{1}{a^2}e^{\frac{-x^2}{a}}(-2a+4x^2)\\f'''_a(x)=-\frac{2x}{a^3}e^{\frac{-x^2}{a}}(-2a+4x^2)+\frac{1}{a^2}e^{\frac{-x^2}{a}}(8x)=\frac{1}{a^3}e^{\frac{-x^2}{a}}(-8x^3+12ax) $$

Jetzt die zweite Ableitung Null setzen:

$$ 0=\frac{1}{a^2}e^{\frac{-x^2}{a}}(-2a+4x^2) $$ Nach dem Satz des Nullproduktes kann nur der Ausdruck in der Klammer null werden. Also

$$ 0=-2a+4x^2 $$Mit x=1

$$ 0=-2a+4 \Leftrightarrow a=2 $$

Nachweis mittels der dritten Ableitung

$$ f'''_2(1)=\frac{1}{2^3}e^{\frac{-1^2}{2}}(-8\cdot 1^3+12\cdot 2 \cdot 1)=16\cdot \frac{e^{-0,5}}{8}=2\cdot e^{-0,5}>0 $$ Damit ist das ein Rechtslinks-Wendepunkt.

Comments

Dankeschön. Welchen Regeln haben sie für die Zweite Ableitung genutzt?

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Ich habe die Produkt- und Kettenregel verwendet.

$$ f=u\cdot v\\ f'=u'\cdot v+u\cdot v'\\u=-\frac{2x}{a}\quad u'=-\frac{2}{a}\\v=e^{\frac{-x^2}{a}}\quad v'=-\frac{2x}{a}\cdot e^{\frac{-x^2}{a}} $$ Eingesetzt ergibt das nun:
$$ f_a''(x)=-\frac{2}{a}\cdot e^{\frac{-x^2}{a}}+\Bigg(-\frac{2x}{a}\Bigg)\cdot \Bigg(-\frac{2x}{a}\cdot e^{\frac{-x^2}{a}}\Bigg)\\=-\frac{2}{a}\cdot e^{\frac{-x^2}{a}}+\frac{4x^2}{a^2}\cdot e^{\frac{-x^2}{a}}=\frac{1}{a^2}e^{\frac{-x^2}{a}}(-2a+4x^2)  $$

Answer 2

  Weißt du wie die Gaußsche Glockenkurve aussieht? Wir erwarten demnach einen WP  .

     f  (  x  ;  a  )  =  exp  (  -  x  ² / a  )      (  1  )

   Erste Ableitung mittels Kettenregel; das ist doch easy.

    f  '  (  x  ;  a  )  =  - 2x / a   exp  (  -  x  ² / a  )      (  2  )

    Und die 2. Ableitung bildest du am Geschicktesten mit der Metode des ===>  logaritmischen Differenzierens, einer Sonderform des  ===>  impliziten Differenzierens. Wie dir bekannt, wird die Rechenstufe beim Logaritmieren eins erniedrigt:

     ln  (  y  '  )  =  ln  (  x  )  -  x  ² / a        (  3a  )

     auch hier Kettenregel

    y  "  /  y  '  =  0  =  1 / x  -  2  x / a           (  3b  )

     x  ²  =  a / 2  ===>  x_w  =  sqr  (  a/2  )          (  3c  )