Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion: f(x)= e^-x * (x^2 - 4)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktion: f(x)= e^-x * (x^2 - 4)

Problem/Ansatz:

ich habe ein kleines Problem bei der Aufgabe f(x), und zwar weiß ich nicht genau wie ich vorgehen muss.

Mein Ansatz wäre die Produktregel.

Danke für eure Hilfe

Vg  

Answer 1

e ^(-x) * (x^2 - 4)

( u * v ) ´ = u´ * v + u * v ´
u = e ^(-x)
u´ = - e ^(-x)
v = x^2 - 4
v ´ = 2x

u´ * v + u * v ´
- e ^(-x) * ( x^2 - 4 ) + e ^(-x)  * 2x
e ^(-x) * [ - ( x^2 - 4 ) + 2x ]
e ^(-x) * [ - x ^2  + 4 + 2x ]

Comments

Zum merken
( e ^term ) ´ = e ^term * ( term ´ )

Ausklammern
4 * 3 + 4 * 2
4 * ( 3 + 2 )

Answer 2

Mein Ansatz wäre die Produktregel.

Ja. Verfolge diesen Ansatz.

Comments

hallo muss ich dann um e^-x abzuleiten die kettenregel nutzten?

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hallo muss ich dann um e^-x abzuleiten die kettenregel nutzten?

Korrekt.

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ich hab als Lösung: f'(x) =2x * e^-x + x^2 - 4 * e^-x * (-1)

Ist das korrekt?

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Wenn man großzügig über eine fehlende Klammer hinwegsieht: Ja.

Jetzt klammere noch für die nachfolgenden Rechnungen den gemeinsamen Faktor e^-x aus.

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wie meinst du das?

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Wie meinst DU das?

Hast du ein Problem mit "fehlende Klammer" oder mit "ausklammern"?

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Hallo Pacman,

es fehlt die Klammer um \(x^2-4\)

$$f'(x) =2x \cdot e^{-x} + (x^2 - 4) \cdot e^{-x} \cdot (-1)\\ =e^{-x}\cdot(2x-x^2+4)$$

hallo muss ich dann um e^-x abzuleiten die kettenregel nutzten?

Merke dir folgende Ableitungsregel:

\(f(x) = e^{kx}\qquad f'(x)=ke^{kx}\)

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also meinst du jetzt mit ausklammern die beiden e zusammen zu (e^-x)^2

hab ein Problem mit fehlende klammern

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\(e^{-x}\) wird einmal multipliziert mit 2x und einmal mit \(-x^2+4\)

Also schreibst du \(e^{-2x}\) vor die Klammer und den Rest darein. Jetzt klar?

Oder stell dir vor:

2x · a + 2x · (b + 3) = 2x · (a+b+3)

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also lautet die 1. Ableitung e^-2x * (2x + x^2 - 4 * (-1)) ?

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Ein "2x" ist zuviel und die -1 habe ich schon eingerechnet:

\(=e^{-x}\cdot(2x-x^2+4)\)

Answer 3

Aloha :)

Die Produkt-Regel in Verbindung mit der Ketten-Regel ist hier eine sehr gute Idee:

$$f'(x)=[\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{(x^2-4)}_{=v}]'=\underbrace{\overbrace{e^{-x}}^{=\text{äußere}}\cdot\overbrace{(-1)}^{=\text{innere}}}_{=u'}\cdot\underbrace{(x^2-4)}_{=v}+\underbrace{e^{-x}}_{=u}\cdot\underbrace{2x}_{=v'}$$$$\phantom{f'(x)}=-e^{-x}(x^2-4)+e^{-x}\cdot2x=e^{-x}\left(-(x^2-4)+2x\right)=e^{-x}(-x^2+2x+4)$$

Comments

wie kommt das Minus-Zeichen in der doppel Klammer zustande also e^-x (-( ?

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Das kommt aus der Kettenregel. Im Exponenten der e-Funktion steht eine Funktion, nennen wir sie mal \(g(x)=-x\):$$e^{-x}=e^{g(x)}$$Beim Ableiten musst du zuerst die e-Funktion mit dem "Argument" \(g(x)\) ableiten. Anschließend musst du dies noch mit der Ableitung \(g'(x)\) der Funktion multiplizieren:$$\left[e^{-x}\right]'=\left[e^{g(x)}\right]'=\underbrace{e^{g(x)}}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{g'(x)}_{=\text{innere}}$$Wenn du jetzt \(g(x)=-x\) und \(g'(x)=-1\) einsetzt, erkennst du, dass die \((-1)\) aus der inneren Ableitung kommt:$$\left[e^{-x}\right]'=e^{-x}\cdot(-1)$$