Ich setze voraus, dass \(i\) die imaginäre Einheit sein soll. Desweiteren ziehe ich den Gauß-Algorithmus bis zum Schluss durch. Es ergibt sich:
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2i & 1\\ 0 & i & 1-i\\ 0 & 0 & 1+3i \end{matrix} \left| \begin{matrix} i\\ 1-i\\ 1+3i \end{matrix} \right)\right.$$Im ersten Schritt wird die dritte Zeile so fertiggestellt, wie du es bereits gemacht hattest:
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2i & 1\\ 0 & 1 & -1-i\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} i\\ -1-i\\ 1 \end{matrix} \right)\right.$$Im zweiten Schritt wird die dritte Spalte genullt...
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2i & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} i-1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right)\right.$$...und im dritten die zweite Spalte:
$$\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} i-1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right)\right.$$Damit ist das Gleichungssystem gelöst.