Lineares Gleichungssystem ausrechnen

Question

ich habe eine Matrix $$\left(   \begin{matrix}     1 & 2i & 1\\     0 & i & 1-i\\     0 & 0 & 1+3i   \end{matrix} \left|   \begin{matrix}     i\\ 1-i\\ 1+3i   \end{matrix} \right)\right.$$
  Und möchte die Variablen bestimmen.  Ich weiß bereits das die Form so aussieht:

 
$$\begin{cases} 1 \times x_{1} + 2i \times x_{2} +1 \times x_{3} = i \\ 0 \times x_{1} + 1 \times x_{2} + (1-i) \times x_{3} = 1-i = 1-i \\ 0 \times x_{1} + 0 \times x_{2} + (1+3i) \times x_{3} = 1+3i \end{cases}$$ 

Die dritte Zeile habe ich schon mal so umgeformt: $$(1+3i) \times x_{3} = 1+3i ÷(1+3i) \Rightarrow x_{3} = 1$$

Wie forme ich nun die zweite und erste Zeile um? Komme da immer durcheinander.

MfG EC.

Answer 1

Hallo

 setze x3 in die 2. te Gl. ein und du hast x2, dann beide in die erste und du hast x1

Gruß lul

Comments

Hm, leider verstehe ich das nicht ganz. Meinst du ich soll den Wert für $$x_{3}$$ so einsetzen? $$ (1-i) \times 1 = 1-i$$ Und wie genau gibt mir das den exakten Wert?

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Der exakte Wert hängt dann von i ab. oder was genau meinst du?

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Ich verstehe nicht genau wie die Antwort von lul gemeint ist. Also ich hab den Wert eingesetzt aber verstehe nicht wie mir das den Wert liefert.

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Verstehe. Ich rechne dir das für x_2 vor und du versuchst es dann bei x_1, ok?

Du hast doch die 2. Zeile: i * x2 + (1-i)*x3 = 1-i

Nun stellst du nach x2 um:   i * x2 + (1-i)*1 = 1-i      |  - (1-i)

                                             i * x2 = 0 | : i

=> x2 = 0

Nun musst du x2 und x3 in die 1. Zeile einsetzen, um x1 zu erhalten

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Danke habe jetzt die Lösung raus(auch für 1)!

Answer 2

Ich setze voraus, dass \(i\) die imaginäre Einheit sein soll. Desweiteren ziehe ich den Gauß-Algorithmus bis zum Schluss durch. Es ergibt sich:

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2i & 1\\ 0 & i & 1-i\\ 0 & 0 & 1+3i \end{matrix} \left| \begin{matrix} i\\ 1-i\\ 1+3i \end{matrix} \right)\right.$$Im ersten Schritt wird die dritte Zeile so fertiggestellt, wie du es bereits gemacht hattest:

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2i & 1\\ 0 & 1 & -1-i\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} i\\ -1-i\\ 1 \end{matrix} \right)\right.$$Im zweiten Schritt wird die dritte Spalte genullt...

$$\left(\begin{matrix} 1 & 2i & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} i-1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right)\right.$$...und im dritten die zweite Spalte:

$$\left(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \left| \begin{matrix} i-1\\ 0\\ 1 \end{matrix} \right)\right.$$Damit ist das Gleichungssystem gelöst.