Funktionsgleichung zum Graphen bestimmen

Question

Finden Sie eine Funktionsgleichung zu folgender Funktion. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen.

Tipp: Nutzen Sie den Fundamentalsatz der Algebra.

Könnte mir jemand bitte erklären, wie man so etwas löst? Ich habe mir die Nullstellen und den Schnittpunkt mit der y-Achse herausgesucht, also die Punkte davon. Aber wie gehe ich dann vor?

Answer 1

1. Schritt: Mit Hilfe der Nullstellen kannst du die Linearfaktoren bestimmen (wobei x=1 eine doppelte Nullstelle ist):

~plot~ (x+2)(x-1)(x-1)(x-3) ~plot~

2. Schritt: Dann fehlt noch der Faktor a, den du über den Schnittpunkt bestimmen kannst:

f(x) = a·(x+2)(x-1)(x-1)(x-3) =y   | Einsetzen von S_y(0|-3)

f(0) = a·(0+2)(0-1)(0-1)(0-3) = -3

a·(2)(-1)(-1)(-3) = -3

(-6)·a = -3

a = 0,5

Fertige Funktionsgleichung:

f(x) = 0,5·(x+2)(x-1)(x-1)(x-3)

Oder in Allgemeinform:

f(x) = 0,5·(x^4 - 3 x^3 - 3 x^2 + 11 x - 6) = 0,5 x^4 - 1,5 x^3 - 1,5 x^2 + 5,5 x - 3

Plot zur Probe:

~plot~ 0,5*(x+2)(x-1)(x-1)(x-3);[[-8|8|-12|12]] ~plot~

Fundamentalsatz der Algebra: … die Anzahl der Nullstellen ist, wenn sie mit der richtigen Vielfachheit gezählt werden, insgesamt gleich dem Grad des Polynoms.

Es sind 4 Nullstellen, der Grad des Polynoms ist 4, wie sich am x^4 erkennen lässt.

Answer 2

Es sieht nach einem Polynom 4. Ordnung aus. Dann brauchst du 5 Angaben:

3 Nullstellen

1 Schnittpunkt mit der y-Achse

eine Nullstelle ist gleichzeitig Hochpunkt.