Vollständige Induktion über 2^n>=n^2 für n>=4

Question

Ich habe hier mal meine Lösung als Bild, hoffe es ist ok?

Mein Problem ist die Abschätzung der 2.VI...

Ist diese überhaupt notwendig?

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So vielleicht: Für n ≥ 4 gilt n² = n·n > 3·n = 2·n + n > 2·n + 1.

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Oder so: 2n² > 2n² - (n - 3)·(n + 1) - 2 = (n + 1)².

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Das funktioniert natürlich auch, Dankeschön

Answer 1

Ich biete hier zum x-ten Mal die Bemerkung an, dass die mit (*) markierte Wunschungleichung $$2n^2\ge(n+1)^2$$ aequivalent zu $$2\ge\left(1+\frac{1}{n}\right)^2$$ ist. Die rechte Seite ist monoton fallend in \(n\) und die Ungleichung stimmt für \(n=4\). Also auch für alle \(n\ge4\).

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Das ist natürlich nicht schlecht:)

Danke

Answer 2

Die 6. Zeile ist die Kurzform für:

Zu zeigen ist: unter der Voraussetzung 2ⁿ≥n² gilt 2ⁿ⁺¹≥(n+1)².

Zu zeigen ist also: 2ⁿ+2ⁿ≥n²+2n+1

Wegen 2ⁿ≥n² bleibt zu zeigen:

2ⁿ≥2n+1, was man entweder als sebstvertändlich ansieht oder wiederum durch vollst. Ind. beweist.

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Danke für die schnelle Antwort, nur sehe ich nun den Unterschied zu meinem Vorgehen nicht.

Es spielt doch keine Rolle ob ich dies 2^n+2^n≥n^2+2n+1 oder dies 2^n*2≥n^2+2n+1 beweise, oder?

Ich komme nur bei der zweiten Induktion nicht weiter, denn 4n+2>=2n+3 macht es gerade kompliziert:) (für mich)

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2^n≥2n+1, was man entweder als sebstvertändlich ansieht

Dann kürzen wir die Aufgabe gleich ab: 2^n>=n^2 ist selbstverständlich ;)