Finden Sie einen geschlossenen Ausdruck für folgende Potenzreihe.

Question

Zuerst eine allgemeine Frage. Was ist denn überhaupt ein geschlossener Ausdruck einer Potenzreihe und wie muss ich hier vorgehen?

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n+11}}{n!} $$

Answer 1

ein geschlossener Ausdruck ist einfach ein Ausdruck welcher nicht mehr aus einer Summe oder einem Integral besteht, sondern nur noch ,,bekannte'' Funktionen und Konstanten enthalten sind.

Du kannst ja mal diese Summenreihe, also hier Potenzreihe etwas umschreiben. Dann wird sehr schnell ersichtlich, wohin das Ergebnis führen wird.

$$ \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n+11}}{n!}=x^{11}\cdot \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n!} $$ Woran errinnert diese Reihe?

Comments

Alles klar, jetzt habe ich schon Mal den Sinn dahinter verstanden.

Was ich weiß, ist, dass 1 / n! = e ist.

Was passiert dann mit xⁿ ? Bleibt dieser Teil oder kann man weiter vereinfachen?

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Falsch.

Die Reihe $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}=e $$ ergibt e. Du kannst mittels Taylor draufkommen. Du betrachtest $$ f(x)=e^x\\f'(x)=e^x\\\vdots \\f^{(k)}(x)=e^x $$ Der Entwicklungspunkt ist p=0. Man wird auch schnell sehen, dass das Restglied Rn(x) für n gegen Unendlich gegen Null laufen wird. Also hat man die Taylorreihe

$$ f(x)=e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{n!}\cdot (x-p)^n \stackrel{p=0}{=} ~~ \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\cdot x^n $$ Für x=1 erhält man

$$  f(1)=e^1= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}\cdot 1^n= \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} $$