Zeigen Sie für die Potenzreihen folgende Aussagen

Question

Sei K ∈ {ℝ, ℂ}. Sei (a_n)n∈ℕ eine Folge in K. Zeigen Sie für die Potenzreihen

∑^∞_n=0 a_ntⁿ    ,     ∑^∞_n=1 na_nt^n-1    die folgenden Aussagen:

a) Sei y ∈ K derart, dass ∑^∞_n=0 a_nyⁿ konvergiert. Dann konvergiert ∑^∞_n=1 na_nx^n-1 für alle x ∈ K mit |x|  <  |y|
b) Die Konvergenzradien beider Potenzreihen stimmen überein.
c) Beweisen oder widerlegen Sie: Sei x ∈ K. Dann konvergiert ∑^∞_n=0 a_nxⁿ genau dann wenn ∑^∞_n=1 na_nx^n-1 konvergiert.

Comments

Zu (c) wähle vielleicht \(a_n=\frac1{n+1}\) und \(x=-1\).

Answer 1

Hallo

 falls die Potenzreihe für |x|<a konvergiert beschreibt sie eine stetige differenzierbare Funktion in dem Bereich.  die 2 te Reihe ist die Ableitung der Funktion,  hilft dir das?

Gruß lul

Comments

ja das ist mir auch aufgefallen aber wie beweise ich damit nun die Aussage?