Geometrieaufgabe zum Knobeln. Längen der Kanten des Tetraeders sind…

Question

Die sechs Kanten eines Tetraeders (ABCD) haben die Längen 4, 8, 11, 16, 22 und 25 (Längeneinheiten).

Wenn AB die längste Kante ist, wie lang ist dann die Kante CD?

Answer 1

Aufgrund der Dreiecksungleichung können einige Seitenlängenkombinationen kein Dreieck ergeben. Beispielsweise lässt sich kein Dreieck mit dem Maßen (25,16,8) bilden. Daraus ergeben sich die möglichen Dreiecke:

(25,22,16),
(25,22,11),
(25,22,8),
(25,22,4),
(25,16,11),
(22,16,11),
(22,16,8),
(16,11,8),
(11,8,4).

Weiter muss jede Kante an genau zwei Dreiecken beteiligt sein, so dass nicht alle Viererauswahlen möglich sind.

Comments

Das bedeutet andererseits, dass jede Kantenlänge in den vier Tetraederkantenlängentripeln genau zweimal vorkommen muss. Daraus folgt, dass die beiden Tripel

(25,22,4) und
(11,8,4)

schon mal gesetzt sind, da sie die beiden einzigen Vieren enthalten. Die Struktur der beiden fehlenden Tripel lässt sich aus den vier übrigen Zahlen, die ja insgesamt auch genau zweimal vorkommen müssen, ermitteln. Dies ergibt zusammen mit der noch fehlenden 16:

(25,16,8) und
(22,16,11)

oder

(25,16,11) und
(22,16,8).

Der erste Fall fällt wegen der nicht erfüllten Dreiecksungleichung raus, so dass mit

(25,22,4),
(11,8,4),
(25,16,11) und
(22,16,8)

die einzige Möglichkeit für die Seitenlängen der Tetraederdreiecke gefunden ist.

---

Weiter soll nun AB=25 gelten, daher tragen wir das nun ein und erhalten:

(AB=25,22,4),
(11,8,4),
(AB=25,16,11),
(22,16,8).

Da für die Länge der Kante CD unerheblich ist, welche Längen die vier Kanten AC, AD, BC und BD haben, ergänzen wir willkürlich, jedoch untereinander passend, zu 

(AB=25,BC=22,AC=4),
(AD=11,CD=8,AC=4),
(AB=25,BD=16,AD=11),
(BC=22,BD=16,CD=8).

Offenbar besitzt die Kante CD die Länge 8.

Answer 2

Da die Summe der beiden kleineren Seiten eines Dreiecks nicht kürzer als die längste Seite sein kann, sind folgende Dreiecke \(a\) bis \(h\) als Tetraederflächen möglich: $$\begin{array}{c|ccc} a & 4 & 8 & 11 \\ b& 4&22&25\\ c & 8 & 11 & 16 \\ d&8&16&22 \\ e&8&22&25 \\ f&11&16&22 \\ g&11&16&25 \\ h&11&22&25 \\ i&16&22&25\end{array}$$

Im nächsten Schritt betrachte man alle Kombinationen von zwei Dreiecken, die genau eine Kante gemeinsam haben. Das sind \(a \circ b\), \(a\circ d\) bis \(a\circ h\), \(b\circ f\), \(b\circ e\), \(c\circ h\), u.a. Aus dieser Menge von möglichen Paarungen suche ich mir nun diejenigen aus, bei denen ein Dreieck möglichst selten ist. Z.B. kommt \(c\) nur in \(c\circ e\) und \(c \circ h\) vor. \(e\) und \(h\) haben aber zwei Kanten gemeinsam. D.h. das Dreieck \(c\) fällt raus. So kann man sukzessive weitere Dreieck entfernen bis schließlich nur noch \(\{a,b,d,g\}\) übrig bleiben: $$\begin{array}{c|ccc} a & 4 & 8 & 11 \\ b& 4&22&25\\ d&8&16&22 \\ g&11&16&25 \end{array}$$ Die längste Kante \(25\) kommt in \(b\) und \(g\) vor. Die gegenüberliegende Kante ist die gemeinsame Kante von \(a\) und \(d\) - also die \(8\).