Beweis durch vollständige Induktion k=1 ∑^n 1/((2k − 1)(2k + 1)) = n/(2n + 1)

Question

a) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion die Aussage

_k=1 ∑ⁿ   1/((2k − 1)(2k + 1)) = n/(2n + 1)

für alle n ∈ N.

Mein Lösungsversuch:

IA: n=1     1/3 = 1/3   OK

IS setze n+1 für n ein.

_k=1 ∑ⁿ⁺¹   1/((2k − 1)(2k + 1)) = (n+1)/(2(n+1) + 1)

dann schreibe ich die Summe wieder um dass sie nur bis n geht und hänge das letzte Glied dran. (mit der IV gilt dann nämlich)

_k=1 ∑ⁿ  1/((2k − 1)(2k + 1))  + 1/((2(n+1) − 1)(2(n+1) + 1))  = ^(IV) n/(2n + 1) + 1/((2(n+1) − 1)(2(n+1) + 1))

aber wenn ich die rechte Seite vereinfache komme ich auf. (2n²+ 3 + 1) / ((2n+1) (2n+3))

und ich müsste ja auf (n+1)/(2(n+1) + 1) kommen

habe ich irgendwo einen Denkfehler ?

Answer 1

deine Rechnung sieht gut aus. Du kannst es mal mit Polynomdivision versuchen, denn dadurch kürzt sich der Faktor $$ 2n+1 $$ raus und du erhältst den Ausdruck aus deinem Induktionsschritt.

$$ \frac{2n^2+3n+1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{n+1}{2n+3} $$