Aufgabe
Sei x0∈(a,b),f:[a,b]→ℝ und auf (a,b){x0} differenzierbar. Weiter existiere c=limx→∞fʹ(x).
a) Zeigen Sie, dass mit a=−1,b=1,f(0)=0,x≠0⇒f(x)=exp(−1/x^2) und dass in diesem Fall fʹ(x_0)=x
b)Zeigen Sie, dass unter den genannten Voraussetzungen auch allgemein f in x_0 differenzierbar und fʹ(x_0)=c.
TIPP: Benutzen Sie die Hilfsfunktion g(x)=f(x)−c⋅x und wenden Sie den Schrankensatz an.
c) Benutzen Sie b) umd a) erneut zu zeigen
Ansatz
a)
f(x)=0 für x=0, f(x) = exp(−1/x^2) für x≠0
1.Fall x≠0:
Funktion ist als Komp. diff.barer Funktionen diffbar.
2.Fall x=0:
limx→0 (exp(−1/x^2)/x) =limx→∞ (x/exp(−1x2)) = 0 (lʹHospital)
fʹ(x)=0 für x=0; f(x)=exp(−1/x^2)∗1^/x^3 für x≠0
1. Fall x_0=0:
fʹ(x_0)=0=c
2. Fall x_0≠0:
fʹ(x0)=exp(−1/x_0^2)∗1x_0^3=c
b) Keine Idee
c) Keine Idee
Fragen
Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung, ob das so stimmt was ich da betreibe. Hätte jemand Ideen und Vorschläge? Wäre .
BG,
Skyline
