Mir juckt es immer wieder in den Fingern. Weil ich muss dir hier manches erklären, was dir weder dein Prof sagt noch in den Büchern steht. Mir Frankfotter kenne da en geile Witz. Wer dein Prof is unn wer du bis.
Waaste schon emaa in ===> Dribbdebach geweese? In Sachsehause? Uffn ===> Affetorplatz?
sitzt e klaa Äffsche uff die Palm in Urwald. Unn rings kimmt e konzentrisch Feuerwalz uff des Äffsche auf zu .
Wie soll sisch des arme Äffsche in Sischerheit brimge?
Antwott: Ei woher soll's dann des klaa Äffsche wisse, wann's de große Aff net weiß?
Ich erkläre dir jetzt, wie man die Säkulardeterninante ( SD ) einer 2 X 2 Matrix aufstellt, wenn man nicht so ein Umstandskrämer ist wie die ganzen Verfasser der Textbücher:
p_A ( x ) = x ² - p x + q ( 1a )
p und q folgen aus Vieta dem geschmähten Stiefkind:
p = E1 + E2 = Sp ( A ) ( 1b )
q = E1 E2 = det ( A ) ( 1c )
Also los; fangen wir an mit Matrix A , der linksesten von deinen dreien ( links, linkser, am Linksesten. )
Sp ( A ) = - 3 + 1 = ( - 2 ) ( 2a )
det ( A ) = ( - 3 ) * 1 - 4 * ( - 1 ) = 1 ( 2b )
p_A ( x ) = x ² + 2 x + 1 = ( x + 1 ) ² ( 2c )
Es wäre wünschenswrt, dass du dich wenigstens noch an dasjenige Zeugs über quadratische Gleichungen ( QG ) erinnerst, was in der Schule dran war. Es wäre wenig genug.
In ( 2c ) hast du eine Woppeldurzel - äh Doppelwurzel. Damit kann aber A keine Eigenbasis besitzen; denn wäre A diagonalisierbar, so wäre es doch identisch mit der Einheitsmatrix. Vermagst du mir so weit geistig zu folgen?
Weil es gibt so etwas wie ein jähes geistiges Erwachen. Bei bestimmten Temen scheint es mir durchaus förderlich, wenn sie sich dir im Verlaufe des Studiums einprägen.
Jetzt Matrix B . Mal sehen, ob du es schon kannst.
Sp ( B ) = - 3 + ( - 1 ) = ( - 4 ) ( 3a )
Det ( B ) = ( - 3 ) * ( - 1 ) - 1 * ( - 2 ) = 5 ( 3b )
p_B ( x ) = x ² + 4 x + 5 ( 3c )
Ich erinnere dich an den Affentorplatz; jetzt hat doch dein Prof die Kühnheit zu fragen, ob ( 3c ) rationale Eigenwerte besitzt - und hat selber noch kein Sterbenswörtchen gehört vom ===> Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) Hey das sind mir die richtigen ...
Da ( 5c ) normiert ist, kommen nur GANZZAHLIGE Eigenwerte in Betracht. Den Schock wirste dein Leben lang nicht vergessen ...
Erinnere dich an Vieta ( 1c ) In ( 3bc ) müssen wir das Absolutglied 5 zerlegen in zwei ganzzahlige Faktoren - da bleibt nicht mehr viel Auswahl. Halt Stop; " Minus Mal Minus " gibt ja auch Plus. Hier entscheidet die cartesische Vorzeichenregel ( CV )
" Zwei Mal Minus "
E1 = ( - 5 ) ; E2 = ( - 1 ) ( 4 )
Hier ohne Witz; im Diplom Algebra konnte ich eine Eins Plus packen, ohne je von der CV gehört zu haben ...
Es geht aber schief. Denn unsere Lösung muss noch durch Vieta ( 1b ) ; und als Spur in ( 3a ) müsste ( Minus ) 4 raus kommen und nicht 6 . Noch nie war ein Irrationalitätsbeweis - und der war ja verlangt ! so easy .
Noch zur Nomenklatur. Komplexe Zahlen sind sie streng genommen ja alle. Nur bei reellen Zahlen verschwindet der Imagteil. Und komplexe Zahlen mit nicht verschwindendem Imagteil sind in jedem Falle irrationale Zahlen; sie sind nicht rational, liegen nicht in |Q . Wenn ich sage, eine QG besitze keine rationalen Wurzeln, dann schließt das gerade nicht still schweigend ein, ihre Wurzeln seien notwendig reell .
Die Frage nach reellen Eigenwerten wollen wir hier getrost überspringen. Die Eigenwerte stellen sich als ( konjugiert ) komplex heraus; und mit dem Satz von Vieta kommst du allemal schneller durch als mit der Mitternachtsformel. Mit Vieta ( 1bc;3ab ) hast du
p = 2 Re ( E0 ) = ( - 4 ) ===> Re ( E0 ) = ( - 2 ) ( 5a )
q = | E0 | ² = 5 ===> | E0 | = sqr ( 5 ) ( 5b )
Mit Pythagoras führen ( 5ab ) sogar auf eine ===> ganze Gaußsche Zahl
E0 ; E0 * = - 2 +/- i ( 5c )
Und jetzt zur C . Manchmal muss man auch in der Algebra etwas sehen - so wie in der Schule auch . Erkennst du, dass Matrix C nur Rang 1 hat? Beim Vergleich der beiden Spalten fällt auf, dass sie gleich sind bis auf diesen Vorzeichendreher. Betrachtest du jedoch die Zelen; die gehen auseinander durch einen Proportionalitätsfaktor hervor.
Ist dir übrigens bewusst, dass der Kern einer Matrix nichts anderes ist als ihr Eigenraum zum Eigenwert Null? Weil die Hälfte der Stzudenten gibt sich dann immer bass erstaunt. Bis ich eines Tages einen Kommentar erhielt, diejenigen, die das nicht wüssten, seien eh plem: denen sei nicht zu helfen ...
Sag selbst; was kann ich tun?
Folgende scharfsinnige Überlegung. Den Eigenwert E1 = 0 haben wir schon mal; Zweifel los ist Null eine ganze Zahl. Die Spurbedingung ( 1b ) haben wir auch schon zwei Mal geübt im Zusammenhang mit Matrix A und B . Die Spur von C ist aber auch eine ganze Zahl. Dann muss aber E2 auch ganzzahlig heraus kommen - nur wegen der Frage von deinem Prof ( E2 lässt sich elementar hinschreiben. )
Noch Fragen?
