x(2-x)<| 1+|x|| = 1+|x|
1. Falls x≥ 0
x(2-x) < 1+x
2x - x^2 -x -1 < 0
0< x^2 - x +1 = (x-0.5)^2 - 0.25 + 1 = (x-0.5)^2 + 0.75 . Das ist eine Summe einer Quadratzahl und 0.75. Daher automatisch grösser als 0.
Ungleichung stimmt für alle x≥0
2. Falls x<0
x(2-x) < 1-x
0 < x^2 -2x -x + 1 = x^2 - 3x + 1 = (x-1.5)^2 - 1.5^2 + 1 = (x - 1.5)^2 - 1.25
Da x<0 ist (x-1.5)^2 > 2.25 und 2.25-1.25 ist immer > 0.
Ungleichung stimmt für alle x≥0.
3. Total:
Ungleichung stimmt für alle x Element IR.
