Beträge eliminieren bei Ungleichungen: x(2-x)<1+|x|

Question

Die Aufgabenstellung lautet:

Geben Sie die Lösungsmenge der Folgenden Ungleichung an:

x(2-x)<1+|x||

Comments

Achtung: Du hast hier 3 Betragstriche! Entweder einen zu viel oder einen vergessen. ??

Kommt nicht so drauf an, da |1+|x|| = 1+|x|.

Maschinelle Lösung:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%282-x%29%3C1%2B%7Cx%7C

Answer 1

x(2-x)<| 1+|x|| = 1+|x|

1. Falls x≥ 0

x(2-x) < 1+x

2x - x² -x -1 < 0

0< x² - x  +1 = (x-0.5)² - 0.25 + 1 = (x-0.5)² + 0.75 . Das ist eine Summe einer Quadratzahl und 0.75. Daher automatisch grösser als 0.

Ungleichung stimmt für alle x≥0

2. Falls x<0

x(2-x) < 1-x

0 < x² -2x -x + 1 = x² - 3x + 1 = (x-1.5)² - 1.5² + 1 = (x - 1.5)² - 1.25

Da x<0 ist (x-1.5)² > 2.25 und 2.25-1.25 ist immer > 0.

Ungleichung stimmt für alle x≥0.

3. Total:

Ungleichung stimmt für alle x Element IR.