Kurze Verständnisfrage zu Vektorräumen, Definition von V+ und V*

Question

habe ich das richtig verstanden, dass man für $$V+$$ und $$V \cdot$$ sonstwas selber definieren könnte - solange nach der Definition davon alle Vektorraumaxiome V1-V8 gelten, ist es ein Vektorraum?

Wenn ich z.B. sage, $$+:= (a_1, a_2) + (b_1, b_2) = (a_1 + 5 + b_1, a_2 - 5 - b_2^2)$$ und $$\cdot := (a_1, a_2) \cdot (b_1, b_2) = (a_1 \cdot b_1 \cdot b_2, a_2 \cdot b_1 \cdot b_2)$$, wäre das ein Vektorraum, wenn die Axiome V1-V8 gelten würden (war ein willkürliches Beispiel, habe es nicht überprüft und denke nicht, dass V1-V8 gelten ;)?

Ist das richtig?

 

Danke,

Thilo

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Gute Frage!

Hier noch für die interessierten Leser die Vektorraumaxiome notiert.

V heißt ein K -Vektorraum, wenn gilt:

(V₁) v + w = w + v    ∀ v, w ∈ V
(V₂) (v + w) + u = v + (w + u)    ∀ v, w, u ∈ V .
(V₃) ∃ 0 ∈ V mit 0 + v = v    ∀ v ∈ V .
(V₄) ∀ v ∈ V ∃ v ∈ V mit v + v = 0 ( v = −v) .
(V₅) (α + β) · v = α · v + β · v    ∀ α , β ∈ K , v ∈ V .
(V₆) (αβ) · v = α · (β · v)    ∀ α , β ∈ K , v ∈ V .
(V₇) α · (v + w) = α · v + α · w    ∀ α ∈ K , v, w ∈ V .
(V₈) 1 · v = v    ∀ v ∈ V .

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Sofern K ein Körper ist. Das ist sehr wichtig und auch namensgebend für einen "Vektor"raum.

Answer 1

Hallo Thilo87,

ja, das hast du richtig verstanden. Man kann auf beliebigen Mengen willkürliche Verknüpfungen wählen, sodass ein Vektorraum entsteht. Man nennt diesen Vektorraum auch K-Vektorraum, wenn er über den Körper K erklärt ist.

Das heißt, die erwähnte "beliebige Menge", muss ein Körper sein. Die gewählten Verknüpfungen müssen die Vektorraumaxiome erfüllen.

MfG

Mister

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Ach, dann ist es ja ganz leicht :D danke dir!