Bestimme die Koeffizienten n, k und m, sodass der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Punkt P(2,1) verläuft.

Question

Ich bräuchte Hilfe bei dieser Aufgabe;

Gegeben sei die Funktion f(x)=(k⋅x^2+m⋅x−2)/(x^2+n⋅x)

Bestimme die Koeffizienten n, k und m, sodass der Funktionsgraph punktsymmetrisch zum Punkt P(2,1) verläuft.

Answer 1

  Die Lösung scheint mir in der Polynomdivision zu liegen; ich war so frei, mal bei ===>  Arndt Brünner zu spicken.

                                         x ( m - n )  -  2

    f  (  x  )  =  k  +        ------------------------------         (  1  )

                                         x  ²  +  n  x

       Du wirst gleich sehen; damit haben wir das ganze Problem vorverdaut bzw. zerlegt  .   k intressiert schon mal gleich gar nicht; k setze ich Eis kalt k = 1  . Denn damit bin ich auf der sicheren Seite; wir wollen doch, dass  f ( 2 ) = 1 .  Als Nächstes musst du dir klar machen,  dass die Gerade in dem Zähler ihre Nullstelle bei x0 = 2 haben muss. Denn nur dann leistet dieser Bruch im Punkt x0 = 2 keinen Beitrag. Außerdem schlagen wir gleich zwei Fliegen mit einer Klappe; bezogen auf ihren Abszissendurchgang verläuft eine Gerade immer  Punkt symmetrisch.

       2  (  m  -  n  )  -  2  =  0  ===>  m  -  n  =  1       (  2  )

    Jede Parabel ( hier:  im Nenner )  zeigt ( gerade ) Achsensymmetrie . Das ist ideal, denn wir wollen ja nicht, dass die bereits erzielte ungerade Symmetrie gestört wird. Wir müssen nur Sorge tragen, dass diese Achse, sprich Scheitel der Parabel, eben Falls in x0  =  2 fällt.   Kennst du;  Ableitung Null setzen

         g  (  x  )  =  x  ²  +  n  x     (  3a  )

     g  '  (  x  )  =  2  x  +  n     (  3b  )

     g  '  (  2  )  =  n  +  4  =  0  ===>  n  =  (  -  4  )  ;  m  =  (  -  3  )   (  3c  )

   " Na wer sagt denn, dass der Löwe kein Schmalz frisst? "  , wie unser Dr. Frank immer zu sagen pflegte  .

   Oder  " Tadaah !!! "   ,  wie es hier zu Forum üblich ist .

  ( Wenn es " hier zu Lande "  gibt; warum nicht auch " hier zu Forum " ?

Comments

  Geht sogar noch einfacher;  man sieht doch sofort, dass x1 = 0 ein Knoten unseres Nennerpolynoms ist . Gefordert war x0 = 2 . Nun liegt aber der Scheitel immer genau symmetrisch in der Mitte zwischen den beiden Nulldurchgängen  ===>  x2  =  4  .

   Ich weiß ;  man denkt immer erst umständlich . Zunächst fiel mir nur auf:

  Wir müssen uns doch noch überzeugen, dass der Nenner in x0 = 2 nicht Null wird . Von Daher gesehen, erweist sich obige  elementare Betrachtung sogar besser als der Einsatz der Differenzialrechnung.

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  Wenn man schon zu faul ist, selber zu rechnen und dann noch falsch abschreibt ...

  (  1  )  muss richtig heißen

                                         x ( m - k n )  -  2

    f  (  x  )  =  k  +        ------------------------------        (  1  )

                                        x  ²  +  n  x

    Glück gehabt; die Lösung bleibt davon ja unberührt.  Der erste Schritt war ja gewesen, k = 1 zu setzen .

Answer 2

beutze diese Bedingung

$$(1) f(a+x)-b=-f(a-x)+b $$  für den Punkt P(a,b)=(2,1), also a=2 und b=1 und setze den Punkt in f ein. Dann hast du  eine zweite Bedingung

$$(2)\quad  f(2)=\frac{4k+2m-2}{4+2n}=1  $$

Dann löst du dieses entstandene Gleichungssystem auf.