Differenzierbarkeit bei Parameterabhängigen Integralen.

Question

f(x,t) := $$\frac{x^3t-xt^3}{x^2+t^2} $$

F(x):= $$\int_{1}^{2} f(x,t)dt$$

Ich soll nun zeigen, dass F stetig diffbar ist und F´(0) angeben. Ich habe es wie folgt gemacht:

F`(x) = lim x->0 $$\frac{F(x,t)-F(0,0)}{x-0} = lim \frac{\int_{1}^{2} f(x,t)dt}{x} = lim \frac{[x^3ln(x^2+t^2)-\frac{xt^2}{2}](2,1)}{x}$$ = ...=$$x^2*(ln(x^2+4)-ln(x^2+1))-\frac{5}{2}$$



Da dies ja ein Kompositum von stetigen Funktionen ist, würde ich sagen, dass F´(x) stetig ist => F ist stetig diffbar.

Ist das richtig so ?

Answer 1

Auf dem Bereich \( [1, 2] \) ist \( f(x,t) \) stetig differenzierbar, also ist \( F(x) \) ebenfalls dort stetig differenzierbar.

Es gilt weiter $$ F'(x) = \int_1^2 \frac{\partial}{\partial x}f(x,t) dt $$

und $$ f_x(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}f(x,t) = \frac{t (4 t^2 x^2 - t^4 + x^4)}{(t^2 +x^2)^2} $$ Also gilt \( f_x(0,t) = -t \) und daraus $$  F'(0) = \int_1^2 \frac{\partial}{\partial x}f(0,t) dt = -\frac{3}{2} $$

Comments

Jap. Hab einen Fehler in meiner Rechnung gefunden, Minus nicht umgedreht. Ich komme also mit meiner Formel am Ende ebenfalls auf -3/2.

Ist mein Weg aber auch richtig von der Vorgehensweise ? Bin ziemlich schwach, was Differentialrechnung angeht.

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Ist es allgemein gültig, dass ich das "Ableiten und die Integration vertauschen" kann ? Also das F` das Integral der Ableitung ist ? Was muss dafür genau gelten ?

MfG

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Siehe hier

http://www.math.tu-dresden.de/~picard/picard/lectures/Hauptseminar_2006/analysis_2003-2004/analysis2/Materialien/ana_2_04.05.21.pdf