Mittelwertsfunktion, Differenzierbarkeit zeigen

Question

ich soll zeigen, dass F(x):=\int _{ x-\Ep /2 }^{ x+\Ep /2 }{ f(t)dt }  differenzierber ist, wobei e>0 und f stetig auf R.

Habe leider keinerlei Ideen oder Ansätze.

Answer 1

$$ F(x):=\int _{ x-\frac {E_p} 2 }^{ x+\frac {E_p} 2  }{ f(t)dt }  $$

ist das so gemeint ?
Dann fällt mir dazu auch nix ein!

Comments

Das ''Ep'' soll ein Epsilon sein, aber sonst ja.
Schade

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$$ F(x):=\int _{ x-\frac {\epsilon} 2 }^{ x+\frac {\epsilon} 2  }{ f(t)dt }  $$

ich bin kein Mathetheoretiker, aber ich versuche mal, was:

$$ F(x):=[F(t) ]_{ x-\frac {\epsilon} 2 }^{ x+\frac {\epsilon} 2  } $$

$$ F(x):=    F (x+\frac {\epsilon} 2) -F( x-\frac {\epsilon} 2 )     $$

wäre das eine Idee ?

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aber bitte mindestens andere Buchstaben verwenden

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Stimmt - also:

$$ F(x):=\int _{ x-\frac {\epsilon} 2 }^{ x+\frac {\epsilon} 2  }{ g(t)dt }  $$
$$ F(x):=G( x+\frac {\epsilon} 2 )- G(x-\frac {\epsilon} 2)  $$

besser?

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Ist auf jeden Fall schonmal ein Anfang, danke.

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Wahrscheinlich besser mit Mittelwertsatz :

(zunächst mal für g > 0 und x > x₀ , und e = ε/2  ,  Fallunterscheidungen später)

(F(x)-F(x₀))/Δx = ( _x0-e ∫^x-e g(t)dt - _x0+e ∫^x+e g(t)dt ) / Δx  =(g(x1)·Δx - g(x2)·Δx) / Δx

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edit : Vorzeichen im mittleren Term umkehren.

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Die Grenzen der integrale kann ich nicht so ganz nachvollziehen, könntest du das vielleicht noch genauer erklären ?