Skalarprodukt, normieren von komplexen Vektor

Question

In unserem Skript steht :

$$ ||u||:= \sqrt{ <u,u>} $$

$$ ||\frac{u}{||u||}|| =1$$

Für reelle Zahlen ist das einleuchtend. Ich habe nur ein Problem mit den komplexen Zahlen, ich denke ich habe  eine Rechenregel/Definition vergessen bzw. erinnere mich nicht richtig daran. Leider komme ich gerade nicht darauf wo mein Fehler liegt,

$$ ||\frac{u}{||u||}|| =\sqrt {<\frac{u}{||u||},\frac{u}{||u||}>}=\sqrt {\frac{1}{\overline{\sqrt {<u,u>}}}\frac{1}{\sqrt {<u,u>}}<u,u>}=\sqrt{\frac{<u,u>}{|\sqrt{<u,u>}|^2}}=\frac{\sqrt{<u,u>}}{|\sqrt {<u,u>}|}$$

Wo mache ich hier einen Fehler bzw. wie macht man weiter um auf 1 zu kommen?

Answer 1

Viel zu kompliziert

$$ \left \| \frac{u}{\| u \|} \right \| = \frac{\| u \|}{\| u \|} = 1 $$ Weil \( \| u \| \) eine reelle Zahl ist, kann man die aus der Norm herausziehen.

Comments

Hmm, wir haben aber das Skalarprodukt so definiert (mit Symmetrie, positive Definitheit und Linearität im zweiten Argument):

<,>: V x V -> K

Also als Abbildung auf einen Körper. Wir haben nicht genau spezifiziert, dass es nicht die komplexen Zahlen sein können. Somit könnte doch <u,u> bzw. <u,u>^0,5 (=||u||) komplex sein und man würde nicht auf $$ \frac {||u||}{||u||}~sondern~auf~|\frac {1}{||u||}|*||u||$$ kommen oder übersehe ich hier etwas?

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Oh, habe gerade gesehen, dass zwar das Skalarprodukt bei uns für einen Körper definiert ist aber || || hingegen ist über || ||: V -> [0,∞) definiert. Hat sich also erledigt, danke für die Hilfe!