Gleichungssystem (I) a/(x+y) -b/(x-y) = 1, (II) b/(x+y) + a/(x-y) = (b^{2} -a^{2})/(2ab) lösen.

Question

Hallo :)

ich habe eine Frage und freue mich auf euere Antwort.

Gleichungssystem lösen :

a/(x+y) -b/(x-y) = 1

b/(x+y) + a/(x-y) = (b^2 -a^2)/(2ab)

Wie kann man das lösen ?

Die Lösung ist (a-b ; a+b)

Und

Comments

Tipp: Substituiere u = 1/(x+y) und v = 1/(x-y) .

Die Lösung ist (a-b ; a+b)

Heisst das, du sollst keine Fallunterscheidungen machen und zum Schluss nur gerade das hier angeben?

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Ich hab mit der Subst. versucht ,aber ich komm nicht weiter :(.

Bei mir steht nur die Lösung .

Answer 1

a/(x+y) -b/(x-y) = 1



b/(x+y) + a/(x-y) = (b2 -a2)/(2ab)

Ohne Fallunterscheidungen! Annahme: Alles ist definiert und eindeutig. 

au - bv = 1                                  | * a

bu + av = (b^2 - a^2)/(2ab)         | * b

----------------------------------

a^2 u - abv = a                              (I)

b^2 u + abv = (b^2 - a^2)/(2a)      (II)

------------------------------------ (I) + (II)

(a^2 + b^2) u = (b^2 - a^2)/(2a) + a = (b^2 - a^2)/(2a) +( 2a^2)/(2a) = (b^2 + a^2)/(2a)

u = (b^2 + a^2)/(2a (a^2 + b^2)) = 1/(2a)

Du musst, falls das bis jetzt stimmt einfach weiterrechnen.

au - bv = 1                                  | * b

bu + av = (b2 - a2)/(2ab)        | * a

----------------------------------------

abu - b^2 v = b                          (I)

abu + a^2 v = (b^2 - a^2)/(2b)      (II)

------------------------------------------     (I) - (II)

-b^2 v - a^2 v = b - (b^2 - a^2)/(2b) = (2b^2)/(2b) - (b^2 - a^2)/(2b)

(-a^2 - b^2) v = (2b^2 - b^2 + a^2)/(2b)

-(a^2 + b^2) v = (b^2  + a^2)/(2b)

v = -1/(2b) 

Kontrolliere mal v.a. die Vorzeichen. Nun kommt noch die Rücksubstitution.

Comments

Leider nicht :(

Ich habe u = x+y

Aber ich versuche es noch einmal .

Danke :)

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U = -a/ (b^2 -a^2) +1/2a

Ist das richtig ?

Oder habe ich was falsches gemacht :(

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Tipp: Substituiere u = 1/(x+y) und v = 1/(x-y) .

u = 1/(2a)

v = -1/(2b)

Rücksubstitution fehlt noch.

[spoiler]

2a = x+y

-2b = x-y

--------------- +

2a - 2b = 2x        | :2

a-b = x

2a = x+y
-2b = x-y
--------------- -

2a + 2b = 2y   |:2

a + b = y

Somit: 

Die Lösung ist (a-b ; a+b)

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Ok ,vielen vielen Dank für deine Zeit :)

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Bitte. Gern geschehen!

Tipp: Versuche alles nochmals ohne spicken durchzurechnen ;) , damit du es dann wirklich begriffen hast.

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Das mache ich ;)

 Vielen Dank nochmal :)