Optimierung unter Nebenbedingungen: Verzehr von Obst

Question

Sie sind auf dem Markt und möchten Obst kaufen. Sie wollen genau gleich viele Birnen und Pflaumen kaufen. Außerdem brauchen Sie doppelt so viele Kirschen wie Äpfel. Der Nutzen, den Sie durch den Verzehr des Obsts haben, lässt sich durch die folgende Funktion beschreiben: $$U(A,B,K,P)=−A^2+5B+8K+3P$$

Ein Apfel kostet 2 Euro, eine Birne 1 Euro, eine Kirsche 3 und Pflaumen je 3 Euro. Wie sieht ihr Warenkorb aus, wenn sie 144 Euro ausgeben können und ihren Nutzen maximieren?

Wieviele Stücke kaufen Sie von den einzelnen Obstsorten?

Anzahl Äpfel:

Anzahl Birnen:

Anzahl Kirschen:

Anzahl Pflaumen:

Ich kann die Funktion aufstellen: \(2A+1B+3K+3P=144\) umstellen zu:  \(2A+1B+3K+3P-144=0\)

Die Nebenbedingungen oben muss ich passend verarbeiten, wobei gilt:

Anzahl Birne = Anzahl Pflaume \(B=P\) und 2xKirschen =Äpfel  \(2K=A\)

Könnt ihr mir helfen?

Danke euch

Comments

Zur Veranschaulichung die Aufgabe im Original.

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Eine fast(!) identischen Aufgabe gab es schon mal: https://www.mathelounge.de/556944/lagrange-methode-aufgabe.

Answer 1

2·a + b + 3·k + 3·p = 144

p = b

k = a/2

2·a + b + 3·(a/2) + 3·b = 144 --> b = 36 - 0.875·a

U = - a^2 + 5·b + 8·k + 3·p
U = - a^2 + 5·b + 8·(a/2) + 3·b
U = - a^2 + 4·a + 8·b
U = - a^2 + 4·a + 8·(36 - 0.875·a)
U = - a^2 - 3·a + 288

U' = - 2·a - 3 = 0 --> a = -1.5

Hier ist also a = 0 das Randmaximum

p = b = 36 - 0.875·0 = 36

k = 0/2 = 0

Ich würde also mal 36 Pflaumen und 36 Birnen probieren.