Funktionen mehrerer Variablen z=z(x,y)=sqrt(x^{2}+xy+2y^{2})

Question

Eine Fläche mit z=z(x,y)=sqrt(x^2+xy+2y^2) im x,y,z Koordinatansystem wird im Punkt (2,1,z0) die Tangentialebene E1 angelegt.

Ich soll z0, eine Gleichung von E1, einen Normalenvektor und den Schnitt von E1 mit der x,y Koordinatenebene berechnen.

Wie muss ich da vorgehen, ich finde keinen Ansatz.

Answer 1

Eine Fläche mit z=z(x,y)=sqrt(x^2+xy+2y^2) im x,y,z Koordinatansystem wird im Punkt (2,1,z0) die Tangentialebene E1 angelegt.

z0:          einfach x und y einsetzen:

                 zo = sqrt(2^2+2*1+2*1^2)=sqrt( 4+2+2) = √8

eine Gleichung von E1:   allgemein ist das immer die Taylorentwicklung, die

nach den linearen Gliedern abgebrochen wird, also so:

z = z(xo,yo) +  z_x(xo,yo)*(x-xo) + z_y(xo,yo)*(y-yo)

und es ist die partielle Ableitung  z_x(x,y) = (2x+y) / ( 2*√(x^2+xy+2y^2) )

an der Stelle (2,1) also z_x= 5 / ( 4√2 )

und z_y(x,y) = (4y+x) / ( 2*√(x^2+xy+2y^2) )

                 an der Stelle (2,1) also z_y= 3 / ( 2√2 )

also E1 :     z =  √8   +  ( 5 / ( 4√2 ) )*(x-2)  +  ( 3/ ( 2√2 ) )*(y-1)   | *4√2

 <=>         z *4√2  =  16   +5(x-2)  +  6*(y-1)

<=>       0  =  5x   +    6*y -       z *4√2

also ist ein Normalenvektor

 5
6
4√2

und der Schnitt mit der xy-Ebene entsteht durch z=0

                  5x +6y = 0    <=>    y = (-5/6) * x    (Ursprungsgerade)