Kann V(X²) < V(X) sein?

Question

fällt jemand von euch Matheexperten spontan ein Beispiel ein, bei dem die Varianz von X² kleiner ist als die Varianz von X? Also zeigen, dass V(X)> V(X²) eintreten kann?:))

In jedem Fall bedank ich mich schonmal!

Answer 1

Hallo misterdardan,

ich bin nicht wirklich ein Experte auf dem Gebiet Sochastik, aber vielleicht hilft dir ja die folgende Überlegung.

Sei \( X \sim N(0,1) \) dann ist \( X^2 \sim \chi^2_1 \) (Chi-Quadrat-Verteilung). Wir kennen die Varianz dieser Verteilung, nämlich \( Var(X^2) = 2 \).

Jetzt nehmen wir uns mal ein normalverteiltes \( Y \sim N(0, \sigma^2 ) \), dann gilt \( Y = \sigma X \), also erhalten wir

$$ Var(Y^2) = Var(\sigma^2X^2) = \sigma^4 Var(X^2) = 2 \sigma^4 $$

außerdem ist

$$ Var(Y) = \sigma^2 $$

für \( \sigma = 0.5 \) sollte dann

$$ Var(Y^2) = 2 \cdot 0.5^4 = 0.125 < 0.25 = 0.5^2 = Var(Y) $$

gelten.

Comments

Wärmsten dank für deine Antwort! Ich nehm mir jetzt Zeit deine Lösung nachzuvollziehen. Die chi-quadrat-Verteilung kam nämlich dieses Semester noch nicht dran, muss es mir also erstmal nacharbeiten:/

Answer 2

  Das ist doch gerade der Witz .  Die Gesamtvarianz  ²  setzt sich zusammen aus der mittleren Varianz + Quadrat des Mittelwerts.

   Sortiere alle gleichen Werte in einen Topf; angenommen du hast n Töpfe . Dann schwankt das Quadrat in jedem einzelnen Topf Null; und die gesamte Varianz ergibt sich als Streuung der Mittelwerte zwischen den Töpfen.

   ===>  ergodisch wäe, wenn der Mittelwert in jedem topf der selbe ist; sprich: die Gesamtstreuung ist die streuu g der Quadrate .

   Vielleicht intressiert es dich ja, dass ich mir als Dissertation überlegt habe, wie sich die Varianz quantenmechanisch verhält  ===> Zenon_Effekt

   ( Zenon  von Elea war der erste griechische Zen Priester. )

   Insbesondere nach der Bellschen Ungleichung . Vielleicht heuerst du doch mal an in der QM und untersuchst etwaige QM Analoga zu klassischen statistischen Tests wie Chi ³ und T Test; meines Wissens gibt's da noch nix .

Comments

Hmm, aus deiner Erklärung entnehme ich, dass es nicht möglich sein kann, dass die Varianz größer ist als die Varianz der quadrierten Werte?

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Ich wüsste gar nicht, wie ich das in der Klausur beweisen sollte.. unser prof hat uns nie was vom Zenon-Effekt und Quantenmachanik erzählt leider

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  Es ist nie zu spät. Was studierst du; Matematik? Ich meine nur; du könntest ja zur Physik wechseln . Wenn dich z.B. die teoretischen Grundlagen des QM Messprozesses intressieren; Heisenbergsche Unschärfe und so.

   Ein bis Heute nahezu unerforschtes Land, wenn es um die QM Analoga der klassischen statistischen Testverfahren geht .  Es gibt sogar schlaue Bücher über die statistische Verteilung von Eigenwerten einer statistischen Matrizenverteilung.

   Das alles setzt aber voraus, dass du dich mal entschließen könntest, in eine QM Vorlesung zu gehen .