Drei faire Würfel werden gleichzeitig geworfen - Permutation oder Kombination mit Wiederholung?

Question

In der Kombinatorik wird ja zwischen Permutation und Kombination mit Wiederholung unterschieden.

Aufgabenstellung ist nun folgende:

Es werden gleichzeitig drei faire Würfel geworfen.

Wie bestimme ich nun den Wahrscheinlichkeitsraum, bzw. die Anzahl der Elemente aus dem Ergebnisraum?

Mein Ansatz:

Ohne Wiederholung (bzw. Zurücklegen) ist klar denke ich.

Aber: da ich ja gleichzeitig werfe, ist ja die Reihenfolge egal, dadurch kann ich dann doch nicht sagen, dass die Anzahl der Elemente aus Omega gleich n^k ist, oder?

Meine Vermutung wäre also: https://www.matheretter.de/wiki/kombination

Aufgabenteil b ist nun: Es wird ein Dreierpasch geworfen - berechne die Wahrscheinlichkeit:

Habe nun einfach gesagt "Es gibt 6 Möglichkeiten für der ersten Wurf, die anderen müssen sich dem anpassen. D.h. |A|=6 und |Ω| = n-k+1 über k -> Da kommt zwei raus... Ist mein |Omega| doch einfach n^k?

Comments

Ohne Wiederholung (bzw. Zurücklegen) ist klar denke ich.

Das ist keineswegs klar.

Aber: da ich ja gleichzeitig werfe, ist ja die Reihenfolge egal.

Die Festlegung eines geeigneten Wahrscheinlichkeitsraumes ist eine Modellierung und damit auch eine interessengeleitete Vereinfachung. Es stellt sich also die Frage, was wir wollen. Wollen wir einen einfach handhabbaren Laplace-Raum, dann müssen wir die Würfel irgendwie unterscheidbar machen, etwa durch verschiedene Farben. Oder wir werfen statt einmal drei Würfel dreimal einen Würfel. In beiden Fällen sind (1,2,3) und (3,2,1) unterscheidbar, aber gleichwahrscheinlich zu (1,1,1). Verzichten wir auf diese Unterscheidbarkeit (d.h. die Reihenfolge ist egal), dann ist [1,2,3] wahrscheinlicher als [1,1,1]. Beide Varianten besitzen jeweils verschiedene Ergebnisräume.

Answer 1

Mein Denken:
Ohne Wiederholung (bzw. Zurücklegen) ist klar denke ich.

Warum ist das klar?

Eigentlich ist es mit Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge. Im Rahmen der Wahrscheinlichkeitsrechnung wird aber oft so getan als wenn man die Würfel unterscheiden kann, also mit Reihenfolge Würfelt.

Ohne Reihenfolge wären es

COMB(k + n - 1, k) = COMB(3 + 6 - 1, 3) = 56 Möglichkeiten

Mit Reihenfolge wären es

n^k = 6^3 = 216 Möglichkeiten

Mit Beachtung der Reihenfolge hat eben den Vorteil, dass alle betrachteten Ereignisse gleich wahrscheinlich sind.

Die Wahrscheinlichkeit für einen Dreierpasch ist dann

P(Dreierpasch) = 6/216 = 1/36

Comments

Das widerspricht sich doch selbst.

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Was widerspricht sich hier selbst?

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Entschuldige, ich habe nicht beachtet, dass es sechs Dreierpasche gibt. Also alles richtig.

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Können Sie mir nochmal genauer erklären, wie man auf 56 kommt? Das kann ich nicht ganz nachvollziehen...

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Deine Formel

https://www.matheretter.de/wiki/kombination

war doch schon völlig richtig. Da brauchst du nur einsetzen und ausrechnen.

n = 6 (Optionen pro Wurf)

k = 3 (Anzahl der Würfe)

(k + n - 1 über k) = (3 + 6 - 1 über 3) = (8 über 3) = 8·7·6/3! = 8·7·6/6 = 8·7 = 56

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Ich kannte die Formel für Wiederholungen gar nicht. Ich kenne die Aufgabe auch aus einer Abi Klausur, wo man glaube ich auch nicht mittels Formel auf die Lösung kommen sollte. Denn es hieß man solle die Überlegungen übersichtlich darstellen und zudem gab es ganze sieben Punkte auf die Aufgabe... Daher habe ich mich gefragt wie man sonst auf dies Lösung kommen kann.

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Zunächst kann man sich das für 2 Würfel vorstellen, Da gibt es folgende Möglichkeiten

11, 12, 13, 14, 15, 16, 22, 23, 24, 25, 26, 33, 34, 35, 36, 44, 45, 46, 55, 56, 66 - 21 Möglichkeiten

Jetzt fügt man noch einen weiteren Würfel hinzu.

Beim Anfügen einer 1

111, 112, 113, 114, 115, 116, 122, 123, 124, 125, 126, 133, 134, 135, 136, 144, 145, 146, 155, 156, 166 - 21 Möglichkeiten

Beim Anfügen einer 2

222, 223, 224, 225, 226, 233, 234, 235, 236, 244, 245, 246, 255, 256, 266 - 15 Möglichkeiten

Beim Anfügen einer 3

333, 334, 335, 336, 344, 345, 346, 355, 356, 366 - 10 Möglichkeiten

Beim Anfügen einer 4

444, 445, 446, 455, 456, 466 - 6 Möglichkeiten

Beim Anfügen einer 5

555, 556, 566 - 3 Möglichkeiten

Beim Anfügen einer 6

666 - 1 Möglichkeiten

Es gibt daher

21 + 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 56 Möglichkeiten

So könnte man das im Abitur leicht darstellen.

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Ah super, Dankeschön!