Varianzberechnung für Wurf mit zwei vierseitigen Würfeln

Question

Sie werfen zwei 4 seitige würfel. Auf dem ersten sind die Zahlen 1,3,4, und 8 aufgedruckt.

Auf dem zweiten würfel die zahlen 2,4,6 und 8. Sie addieren die zahlen die sie erwürfelt haben.

Aufgabe: Berechnen sie die Varianz und Erwartungswert

Meine Frage jetzt zur Varianz, ich weiß zwar schon das Ergebnis von der Varianz (11,5), ich verstehe aber nicht den weg wie man darauf kommt.

Wäre nett wenn mir einer den Lösungsweg nennen könnte.

Comments

Ich hatte noch ein Teil von der Aufgabe vergessen

 Aufgabe a)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Ergebnis 14?

Und unter Teil b) soll man dann für dieses Zufallsexperiment  die varianz und erwartungswert bestimmen

Answer 1

Hallo Nino,

 mögliche Ergebnisse:

A	1	1	1	1	3	3	3	3	4	4	4	4	8	8	8	8
B	2	4	6	8	2	4	6	8	2	4	6	8	2	4	6	8
∑	3	5	7	9	5	7	9	11	6	8	10	12	10	12	14	16

 
In jeder Spalte steht ein mögliches Würfelergebnis mit der Wahrscheinlichkeit 1/16

a)  P(Augensumme = 14) = 1/16

b)

Die blau markierten Augensummen kommen jeweils doppelt vor, haben also die Wahrscheinlichkeit 1/8

Erwartungswert =  μ  =  1/16·(3 + 11 + 6 + 8 + 14 + 16) + 1/8 · ( 5 + 7 + 9 + 10 + 12)  = 9 

AS = x_i = Augensumme ,  v_i = (x_i - μ)² · P(AS = x_i)

xi	3	5	6	7	8	9	10	11	12	14	16
vi	36/16	16/8	9/16	4/8	1/16	0	1/8	4/16	9/8	25/16	49/16

Varianz   \(σ^2 =  \sum\limits_{i=1}^{11} (x_i-μ)^2·P(AS=x_i) \) 
     =  36/16 + 16/8 + 9/16 + 4/8 + 1/16 + 0 + 1/8 + 4/16 + 9/8 + 25/16 + 49/16  = 11,5  

Gruß Wolfgang

Answer 2

a)  Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Ergebnis 14?

Ich gehe hier aus, dass jeder Würfel einmal geworfen wird:

Man kann nur durch das Würfeln von \(6\) und dann \(8\) die Summe 14 würfeln:$$P(X=14)=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}$$Du hast als einen Würfel mit \(A={(1,2,3,8)}\) und den anderen Würfel mit \(B={(2,4,6,8)}\). Die Schnittmenge liegt bei \(A∩B=(8,2)\). Wir suchen nun also die Summe, die wir am ehesten erwarten können, wenn wir die Würfel werfen.

Der Erwartungswert ist definiert durch \(E(X)=\sum\limits_{i=1}^{n}x_i\cdot\text P (\text X = x_i)\). Wir wenden diese Formel nun mal auf dein Beispiel an:$$E(X)=\frac{1+2+3+8}{6}+\frac{2+4+6+8}{6}=\frac{17}{3}$$ Die Varianz wird  durch \(Var(X)=\sum_{i}^{}{(x_i-\mu_x})^2\cdot P(X=x_i)\) beschrieben.

Comments

b)  scheint mir bei E(x) keinen Sinn zu machen

    vgl. meine Antwort

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Machts auch nicht. Es müssen die Summen betrachtet werden. Ich halte deine Antwort für richtig.