Wir haben als Klausurvorbereitung diese Aufgabe gegeben, aber ich finde die Fehler nicht, die gemacht wurden? Und an sich verstehe ich auch nicht, warum ich dann nicht mit den korrekten Lösungen, die ich nicht habe, NICHT weiterarbeiten soll.
Kann mir da einer helfen, die Aufgabe zu lösen? Das wäre echt super.
Hier die Aufgabe:
Bei der Berechnung der lokalen Extrema und Sattelpunkte von
$$ f : R ^ { 3 } \rightarrow \mathbb { R } \operatorname { mit } f ( x , y , z ) = x + y + y z - y ^ { 2 } - z ^ { 2 } - 2 x ^ { 4 } $$
wurde die folgende fehlerhafte Lösung erstellt.
Finden und berichtigen Sie alle Fehler. Sie müssen dabei nicht die Aufgabe korrigieren, beachten Sie Folgefehler! (Wenn bspw. am Anfang falsche Kandidaten für Extremstellen ausgerechnet wurden, markieren und berichtigen Sie den Fehler, bearbeiten den Rest der Aufgabe aber so, als wären die Kandidaten richtig, um nicht jeden Folgefehler einzeln untersuchen zu müssen.)
Die notwendige Bedingung besagt, dass der Gradient \( \nabla f = 0 \) sein muss. Die partiellen Ableitungen lauten:
$$ f _ { x } ( x , y , z ) = 1 - 8 x ^ { 3 } , \quad f _ { y } ( x , y , z ) = 1 + z - 2 y - z ^ { 2 } , \quad f _ { z } ( x , y , z ) = y - 2 z $$
Damit muss gelten:
$$ \nabla f = \left( \begin{array} { c } { 1 - 8 x ^ { 3 } } \\ { 1 + z - 2 y - z ^ { 2 } } \\ { y - 2 z } \end{array} \right) = \left( \begin{array} { l } { 0 } \\ { 0 } \\ { 0 } \end{array} \right) $$
Die Zeile ergibt \( x = -\frac{1}{2} \). Umstellen der dritten Gleichung nach y und Einsetzen in Gleichung II ergibt:
$$ y = 2 z \Rightarrow 1 + 2 z - 2 z - z ^ { 2 } = 0 \Leftrightarrow z ^ { 2 } = 1 $$
Also gilt z = 1 und damit y = 2. Kandidaten für eine Extremstelle sind also \( -\frac{1}{2} \), 2 und 1. Für
die hinreichende Bedingung bestimmen wir die Hessematrix \( H_f(x,y,z) \), für die wir die zweiten Ableitungen brauchen:
$$ f _ { x x } = - 24 x ^ { 2 } , \quad f _ { x y } = f _ { y x } = 0 , \quad f _ { x z } = f _ { = x } = 0, f_{yy} = 2, f_{yz} = 1-2z = f_{zy}, f_{zz} = -2 $$
Die Hessematrix lautet also:
$$ H _ { f } ( x , y , z ) = \left( \begin{array} { c c c } { - 24 x ^ { 2 } } & { 0 } & { 0 } \\ { 0 } & { 2 } & { 1 - 2 x } \\ { 0 } & { 1 - 2 x } & { - 2 } \end{array} \right) $$
Weil die Hesse-Matrix positive und negative Hauptdiagonaleinträge besitzt, ist sie indefinit. Also liegt
an jedem der Kandidaten ein Sattelpunkt vor.
